Какой путь преодолел велосипедист за 4 секунды, если его скорость изменяется в соответствии с законом v(t) = 15t2

Karamel

11

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться определением скорости как производной по времени от пути \(v(t) = \frac{{ds}}{{dt}}\). Используя это определение, мы можем интегрировать заданный закон изменения скорости, чтобы найти путь, пройденный велосипедистом за указанный период времени.

Первым шагом будет интегрирование \(v(t)\). Используем формулу для интегрирования многочлена:
\[s(t) = \int v(t) \, dt = \int (15t^2 - 6t) \, dt\]

Для интегрирования многочлена, мы можем использовать степенные формулы интегрирования.

Интегрируя постепенно каждый член:
\[\begin{align*}
\int 15t^2 \, dt &= 5t^3 + C_1\\
\int -6t \, dt &= -3t^2 + C_2
\end{align*}\]

где \(C_1\) и \(C_2\) — постоянные интегрирования.

Теперь объединим полученные интегралы:
\[s(t) = 5t^3 - 3t^2 + C\]

где \(C\) — сумма постоянных интегрирования.

Теперь подставим значения времени в задаче \(t = 4\) и найдем значение пути:
\[s(4) = 5(4)^3 - 3(4)^2 + C\]

Рассчитаем значения пути и найдем постоянную \(C\):
\[s(4) = 320 - 48 + C\]

Так как в задании не указано начальное положение велосипедиста, то мы не можем определить конкретное значение константы \(C\). Однако мы можем рассчитать путь без нее:
\[s(4) = 320 - 48 = 272 \, \text{метров}\]

Таким образом, велосипедист преодолел путь в \(272\) метра за \(4\) секунды, и это значение верно независимо от начального положения велосипедиста.