Задача 17.3. Какое количество золота было заменено серебром при изготовлении венца, если масса венца составляет 2

Ogonek_5235

32

Чтобы решить эту задачу, нам нужно воспользоваться законом Архимеда, который гласит, что плавающее тело выталкивает из жидкости столько же жидкости, сколько весит само тело.

По условию, мы знаем, что золотой и серебряный слитки имеют одинаковые массы. Пусть масса каждого слитка равна \( m \) кг. Тогда, согласно закону Архимеда, объем воды, вытесненный каждым слитком, равен его массе.

Мы знаем, что золотой слиток вытеснил 207 см³ воды, а серебряный - 381 см³ воды. Поскольку объем воды, вытесненный каждым слитком, равен его массе \( m \), то мы можем записать уравнение:

\[ m_{\text{золотой}} = 207 \, \text{см³}, \]
\[ m_{\text{серебряный}} = 381 \, \text{см³}. \]

Согласно условию задачи, общая масса венца составляет 2 кг. Поскольку массы золотого и серебряного слитков одинаковые, общая масса слитков равна \( 2 \cdot m \) кг.

Теперь мы можем записать уравнение:

\[ 2 \cdot m = m_{\text{золотой}} + m_{\text{серебряный}}. \]

Подставим значения:

\[ 2 \cdot m = 207 \, \text{см³} + 381 \, \text{см³}. \]

Наша задача состоит в том, чтобы найти количество золота, замененного серебром. Для этого мы вычислим разницу в объеме воды, вытесненной золотым и серебряным слитками, а затем умножим эту разницу на плотность золота (которая равна плотности серебра) для получения массы:

\[ \text{масса золота} = (m_{\text{серебряный}} - m_{\text{золотой}}) \cdot \text{плотность золота}. \]

Поскольку массы золотого и серебряного слитков одинаковые, \( m_{\text{золотой}} = m_{\text{серебряный}} \). Следовательно, разница в объеме воды, вытесненной золотым и серебряным слитками, равна:

\[ (m_{\text{серебряный}} - m_{\text{золотой}}) = 381 \, \text{см³} - 207 \, \text{см³}. \]

Мы также знаем объем воды, вытесненной венцом, который составляет 240,0 см³.

Теперь, для того чтобы найти количество золота, замененного серебром, нужно преобразовать все объемы в массы. Поскольку плотность золота (и серебра) равна массе на объем, у нас есть:

\[ \text{масса золота} = (381 \, \text{см³} - 207 \, \text{см³}) \times \text{плотность золота}. \]

Теперь мы знаем, что плотность золота равна плотности серебра и что общая масса венца составляет 2 кг. Мы также можем использовать известное соотношение, что масса равна объему, умноженному на плотность:

\[ \text{масса золота} = (m_{\text{серебряный}} - m_{\text{золотой}}) \cdot \text{плотность серебра} = (381 \, \text{см³} - 207 \, \text{см³}) \cdot \text{плотность серебра}. \]

Теперь нам остается только выразить плотность серебра через известные значения. Поскольку общая масса венца составляет 2 кг, а массы золотого и серебряного слитков одинаковые, мы можем записать:

\[ 2 \cdot m = m_{\text{золотой}} + m_{\text{серебряный}} = 381 \, \text{см³} + 207 \, \text{см³}. \]

Таким образом, \( m = 294 \, \text{г} \).

Теперь мы можем выразить плотность серебра:

\[ \text{плотность серебра} = \frac{m_{\text{серебряный}}}{207 \, \text{см³}} = \frac{294 \, \text{г}}{207 \, \text{см³}}. \]

Теперь мы можем найти количество золота, замененное серебром:

\[ \text{масса золота} = (381 \, \text{см³} - 207 \, \text{см³}) \times \frac{294 \, \text{г}}{207 \, \text{см³}}. \]

Рассчитаем это:

\[ \text{масса золота} = 173 \, \text{г}. \]

Таким образом, количество золота, замененного серебром при изготовлении венца, составляет 173 г.