Задание 1. Имеется выборка, представленная в виде распределения частот: xi 4 7 8 12 ni 5 2 3 10 Необходимо найти

Lapka_2434

43

Задание 1:
Для нахождения распределения относительных частот необходимо разделить количество наблюдений на общее количество элементов выборки. Для данной выборки общее количество элементов равно сумме всех частот. Рассчитаем распределение относительных частот:

\[
\begin{align*}
x_i & : 4 & 7 & 8 & 12 \\
n_i & : 5 & 2 & 3 & 10 \\
\end{align*}
\]

Сумма всех частот равна:
\[N = 5 + 2 + 3 + 10 = 20\]

Теперь рассчитаем относительные частоты, разделив каждую частоту на общее количество элементов выборки:

\[
\begin{align*}
f_i & : \frac{5}{20} & \frac{2}{20} & \frac{3}{20} & \frac{10}{20} \\
\end{align*}
\]

Упростим выражения:
\[
\begin{align*}
f_i & : \frac{1}{4} & \frac{1}{10} & \frac{3}{20} & \frac{1}{2} \\
\end{align*}
\]

Таким образом, распределение относительных частот для данной выборки будет:
\[x_i : 4 \quad 7 \quad 8 \quad 12\]
\[f_i : \frac{1}{4} \quad \frac{1}{10} \quad \frac{3}{20} \quad \frac{1}{2}\]

Задание 2:
Для нахождения выборочной дисперсии необходимо выполнить следующие шаги:
1. Рассчитать выборочное среднее \(\overline{x}\), умножив каждое значение на соответствующую частоту, затем сложив полученные произведения и разделив на общее количество элементов выборки:

\[
\begin{align*}
x_i & : 186 & 192 & 194 \\
n_i & : 2 & 5 & 3 \\
\end{align*}
\]

\[
\overline{x} = \frac{(186 \cdot 2) + (192 \cdot 5) + (194 \cdot 3)}{2 + 5 + 3}
\]

\[
\overline{x} = \frac{372 + 960 + 582}{10} = \frac{1914}{10} = 191.4
\]

2. Рассчитать отклонения каждого значения выборки от выборочного среднего:

\[
\begin{align*}
x_i & : 186 & 192 & 194 \\
n_i & : 2 & 5 & 3 \\
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
x_i - \overline{x} & : 186 - 191.4 & 192 - 191.4 & 194 - 191.4 \\
\end{align*}
\]

3. Возвести каждое отклонение в квадрат:
\[
\begin{align*}
(x_i - \overline{x})^2 & : (186 - 191.4)^2 & (192 - 191.4)^2 & (194 - 191.4)^2 \\
\end{align*}
\]

4. Умножить каждое квадратичное отклонение на соответствующую частоту и сложить полученные произведения:

\[
\begin{align*}
(x_i - \overline{x})^2 \cdot n_i & : (186 - 191.4)^2 \cdot 2 + (192 - 191.4)^2 \cdot 5 + (194 - 191.4)^2 \cdot 3 \\
\end{align*}
\]

5. Рассчитать выборочную дисперсию по формуле:

\[
s^2 = \frac{\sum{(x_i - \overline{x})^2 \cdot n_i}}{n - 1}
\]

где \(n\) - объем выборки.

Для данной выборки \(n = 2 + 5 + 3 = 10\), поэтому:

\[
s^2 = \frac{(186 - 191.4)^2 \cdot 2 + (192 - 191.4)^2 \cdot 5 + (194 - 191.4)^2 \cdot 3}{10 - 1}
\]

Вычислим это выражение:

\[
s^2 = \frac{(186 - 191.4)^2 \cdot 2 + (192 - 191.4)^2 \cdot 5 + (194 - 191.4)^2 \cdot 3}{9}
\]

\[
s^2 = \frac{(-5.4)^2 \cdot 2 + (0.6)^2 \cdot 5 + (2.6)^2 \cdot 3}{9}
\]

\[
s^2 = \frac{29.16 \cdot 2 + 0.36 \cdot 5 + 6.76 \cdot 3}{9}
\]

\[
s^2 = \frac{58.32 + 1.8 + 20.28}{9}
\]

\[
s^2 = \frac{80.4}{9} = 8.9333...
\]

Таким образом, выборочная дисперсия для данного распределения выборки объема n = 10 равна 8.9333... (округлим до 4 знаков после запятой).

Задание 3:
Для нахождения доверительного интервала для генерального среднего квадратического отклонения (\(\sigma\)), при известном исправленном среднем квадратическом отклонении (\(s\)), надежностью 0.95, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти значения статистики \(\chi^2\) для (1 - \frac{\alpha}{2}) и \frac{\alpha}{2} степеней свободы, где \(\alpha = 1 - 0.95 = 0.05\). В данном случае степени свободы равны n - 1 = 16 - 1 = 15. Найдем эти значения в таблице значений статистики \(\chi^2\). Заметим, что для \frac{\alpha}{2} степеней свободы нужно находить статистику \frac{\alpha}{2} только для одной хвостовой области. Для удобства, обозначим \frac{\alpha}{2} за \frac{\alpha}{2} / 2.

Статистика \(\chi^2\) для (1 - \frac{\alpha}{2}) степеней свободы: 26.113
Статистика \(\chi^2\) для \frac{\alpha}{2} степеней свободы: 6.262

2. Найдем верхнюю и нижнюю границы доверительного интервала с помощью формулы:

\[
\left(\sqrt{\frac{{(n-1) \cdot s^2}}{{\chi^2_{\alpha/2}}}}, \sqrt{\frac{{(n-1) \cdot s^2}}{{\chi^2_{1-\alpha/2}}}}\right)
\]

\[
\left(\sqrt{\frac{{15 \cdot 1}}{{6.262}}}, \sqrt{\frac{{15 \cdot 1}}{{26.113}}}\right)
\]

\[
\left(\sqrt{\frac{{15}}{{6.262}}}, \sqrt{\frac{{15}}{{26.113}}}\right)
\]

3. Посчитаем значения верхней и нижней границы доверительного интервала:

\[
\left(\sqrt{2.396}, \sqrt{0.574}\right)
\]

Вычислим корни:

\[
(1.547, 0.758)
\]

Таким образом, доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение (\(\sigma\)), с надежностью 0.95, будет: (0.758, 1.547).