Каким может быть вид интервальной оценки среднего квадратического отклонения нормально распределенного количественного

Skorostnaya_Babochka

39

Для начала, нужно уточнить, что такое интервальная оценка. Интервальная оценка - это диапазон значений, в котором находится истинное значение параметра с некоторой вероятностью.

Для определения интервальной оценки среднего квадратического отклонения \( \sigma \) нормально распределенного количественного признака с точечной оценкой \( \bar{X} \), мы можем воспользоваться тем фактом, что в данном случае распределение признака будет следовать распределению Стьюдента.

Итак, для определения интервальной оценки, нам понадобится уровень доверия и степени свободы. В данной задаче уровень доверия не указан, поэтому мы будем считать его стандартным и равным 95% (что означает, что мы можем быть уверены в нашей оценке с вероятностью 95%).

Степень свободы определяется по формуле \( df = n - 1 \), где \( n \) - это количество наблюдений. В данной задаче количество наблюдений нам неизвестно, но по определению степени свободы \( df \) она всегда будет на единицу меньше количества наблюдений, поэтому \( df = n - 1 \).

Теперь мы можем использовать таблицу распределения Стьюдента для определения критического значения \( t \). Критическое значение — это значение, при котором мы ставим границы интервала. Оно зависит от уровня доверия и степени свободы. В данном случае, нам потребуется критическое значение, соответствующее 95% доверительному интервалу и \( df \) степеням свободы.

Из таблицы распределения Стьюдента мы найдем, что для 95% доверительного интервала и \( df \) степеней свободы, критическое значение \( t \) равно примерно 2,447.

Теперь мы можем вычислить интервальную оценку. Интервальная оценка определяется следующим образом:
\[
\bar{X} \pm t \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\]

Где:
- \( \bar{X} \) - это точечная оценка среднего (в данной задаче она равна 2,7)
- \( \sigma \) - среднеквадратическое отклонение (неизвестное значение)
- \( n \) - количество наблюдений (неизвестное значение)
- \( t \) - критическое значение (в данной задаче оно равно 2,447)

Мы не знаем значения \( \sigma \) и \( n \), но мы можем избавиться от них, применив центральную предельную теорему для нормально распределенной выборки большого объема. Согласно этой теореме, распределение выборочного среднего будет приближаться к нормальному распределению с параметрами \( \mu \) и \( \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \).

Таким образом, мы можем переписать формулу интервальной оценки для среднего квадратического отклонения следующим образом:

\[
\bar{X} \pm t \cdot \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}}
\]

Где:
- \( \hat{\sigma} \) - оценка стандартного отклонения, которую мы можем получить, подставив нашу точечную оценку среднего \( \bar{X} \) вместо \( \sigma \).

Теперь мы можем окончательно решить задачу. Подставим наши известные значения в формулу интервальной оценки:

\[
2.7 \pm 2.447 \cdot \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}}
\]

По условию задачи нам известна только точечная оценка среднего \( \bar{X} \), поэтому мы не можем рассчитать точные значения для интервальной оценки среднеквадратического отклонения. Однако, если бы нам были известны значения \( \sigma \) и \( n \), мы могли бы использовать данную формулу для получения интервальной оценки.