Задание 2 У вас есть вектор Screenshot_2.png и точка A (−6; 2). Напишите уравнения прямой, проходящей через точку

Yarmarka

70

Хорошо, давайте решим задачу.

а) Если прямая параллельна вектору \(\overrightarrow{AB}\), то она будет иметь тот же направляющий вектор.

Направляющий вектор прямой можно получить из координат двух точек \(\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)\), где \(A\) это точка \((-6, 2)\), а \(B\) это произвольная точка на прямой.

У нас есть вектор \(\overrightarrow{AB} = (3, -1)\), который задан на рисунке Screenshot_3.png.

Теперь мы можем использовать формулу для уравнения прямой, которое проходит через точку \(A\). Пусть \(y\) - это неизвестная координата \(y\), а \(x\) - это неизвестная координата \(x\). Тогда уравнение прямой будет выглядеть так:

\[(y - y_1) = \frac{{(y_2 - y_1)}}{{(x_2 - x_1)}}(x - x_1)\]

Подставим известные значения:

\[(y - 2) = \frac{{-1}}{{3}}(x - (-6))\]

\((y - 2) = \frac{{-1}}{{3}}(x + 6)\)

Нам остается только привести уравнение к удобному виду:

\((y - 2) = -\frac{{1}}{{3}}x - 2\)

\(y = -\frac{{1}}{{3}}x + 4\)

Таким образом, уравнение прямой, параллельной вектору Screenshot_3.png, проходящей через точку A, будет \(y = -\frac{{1}}{{3}}x + 4\).

б) Если вектор Screenshot_3.png является вектором нормали к прямой, то уравнение прямой можно записать в виде:

\[Ax + By + C = 0\]

где \(A\) и \(B\) - это координаты вектора нормали Screenshot_3.png, а \(x, y\) - это координаты точек на прямой.

У нас есть вектор нормали Screenshot_3.png, равный \((3, -1)\).

Подставим значения в формулу:

\(3x + (-1)y + C = 0\)

А также подставим координаты точки A, чтобы найти константу \(C\):

\(3(-6) + (-1)2 + C = 0\)

\(-18 - 2 + C = 0\)

\(C = 20\)

Таким образом, уравнение прямой, для которой вектор Screenshot_3.png является вектором нормали и проходит через точку A, будет иметь вид:

\(3x - y + 20 = 0\)

Вот и все!