Чи можна підтвердити, що чотирикутник abcd з координатами вершин a(3; -1) b(2; 3) c(-2; 2) d(-1; -2) є прямокутником?

Serdce_Ognya

68

Да, мы можем подтвердить, что четырехугольник ABCD является прямоугольником. Для этого нам нужно проверить, удовлетворяет ли он всем критериям прямоугольника.

Первый критерий - противоположные стороны прямоугольника должны быть равны. Давайте возьмем длины сторон AB, BC, CD и AD и проверим их равенство.

AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((2 - 3)² + (3 - (-1))²) = √((-1)² + 4²) = √(1 + 16) = √17
BC = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((-2 - 2)² + (2 - 3)²) = √((-4)² + (-1)²) = √(16 + 1) = √17
CD = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((-1 + 3)² + (-2 - 2)²) = √(2² + (-4)²) = √(4 + 16) = √20
AD = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((3 + 1)² + (-1 + 2)²) = √(4² + 1²) = √(16 + 1) = √17

Мы видим, что AB = BC = CD = AD = √17, поэтому первый критерий выполнен.

Второй критерий - противоположные стороны прямоугольника должны быть параллельны. Давайте найдем угловые коэффициенты для сторон AB и BC и проверим их равенство.

AB: m₁ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (3 - (-1)) / (2 - 3) = 4 / (-1) = -4
BC: m₂ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (2 - 3) / (-2 - 2) = (-1) / (-4) = 1/4

Мы видим, что m₁ = -4 и m₂ = 1/4, что не является равенством. Но для прямоугольников угловые коэффициенты противоположных сторон должны быть обратными и противоположными знаками.

Давайте проверим коэффициенты наклона сторон AD и CD:

AD: m₃ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (-1 + 2) / (3 + 1) = 1 / 4 = 1/4
CD: m₄ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (-2 - 2) / (-1 + 3) = (-4) / 2 = -2/1 = -2

Мы видим, что m₃ = 1/4 и m₄ = -2, что является обратным и противоположным значением. Второй критерий также выполнен.

Таким образом, по обоим критериям мы получаем, что ABCD является прямоугольником.