Задание 6 Согласно результам поверки, 80% погрешностей измерений амперметра не превышают +- 20 мА. Предполагая

Жираф

25

Задание 6:

Для решения этой задачи нам нужно использовать нормальное распределение и для него нам понадобятся параметры среднего значения и стандартного отклонения.

Условие говорит нам, что 80% погрешностей измерений амперметра не превышают +- 20 мА. Мы можем предположить, что это означает, что 40% погрешностей находятся в пределах +- 20 мА, а значит, 20% погрешностей больше +- 20 мА.

Для нашего решения нам понадобится таблица нормального распределения или калькулятор, способный вычислять значения функции нормального распределения.

Пусть X будет случайной величиной, обозначающей погрешность измерения. Мы знаем, что X распределено нормально со средним значением 0 (нулевая погрешность) и стандартным отклонением, которое мы обозначим как σ.

Мы хотим найти вероятность, что погрешность измерения будет больше +- 40 мА, то есть |X| > 40.

Для этого мы можем использовать таблицу нормального распределения, чтобы найти вероятность попадания погрешности в интервал (-40, -20] и интервал [20, 40).

В таблице нормального распределения мы находим значения функции нормального распределения для левой и правой границы этих интервалов и вычитаем одно значение из другого.

Таким образом, вероятность погрешности измерения больше +- 40 мА равна сумме вероятностей попадания погрешности в интервал (-40, -20] и интервал [20, 40).

Обозначим это как P(|X| > 40). Для большей наглядности будем использовать обозначение P(X > 40) + P(X < -40).

Теперь, проверим таблицу и найдем значения функции нормального распределения для -20 и 20. Обозначим их как Z1 и Z2 соответственно.

Z1 = P(X > 20) = 0.8 (из условия)
Z2 = P(X < -20) = 0.8 (из условия)

Теперь найдем вероятность попадания погрешности в интервал (-40, -20] и интервал [20, 40) с использованием таблицы нормального распределения.

P(|X| > 40) = P(X > 40) + P(X < -40)
= P(X > 40) + [1 - P(X > 40)] (так как функция распределения нормальной случайной величины симметрична относительно среднего значения 0)
= 2P(X > 40) - 1 (подставляем значения из таблицы)

Теперь найдем P(X > 40) с использованием таблицы. Обозначим это значение как P1.

P(X > 40) = P(X > 20) - P(X > 40) (так как область справа от 40 мА является дополнением к области справа от 20 мА)
= Z1 - P1 (подставляем значения из таблицы)

Таким образом, мы находим, что P(|X| > 40) = 2P(X > 40) - 1 = 2(Z1 - P1) - 1.

Мы знаем, что P1 + P(X < 40) = 1 (так как весь интервал распределения подчиняется единичной вероятности)
P(X < 40) = 1 - P1

Подставляя это значение, мы получаем:

P(|X| > 40) = 2(Z1 - P1) - 1 = 2Z1 - 2P1 - 1

Таким образом, мы нашли вероятность того, что погрешность измерения будет больше +- 40 мА.

Задание 13:

Для решения задачи, необходимо использовать формулу делителя напряжения.

В этом случае, добавочный резистор будет подключен параллельно вольтметру и его сопротивление будет влиять на верхний предел измерений.

Формула делителя напряжения выглядит следующим образом:

\(V_{out} = \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}} \cdot V_{in}\),

где \(V_{in}\) - входное напряжение (100 В),
\(R_{1}\) - внутреннее сопротивление вольтметра (4 кОм),
\(R_{2}\) - сопротивление добавочного резистора (которое нам нужно найти),
\(V_{out}\) - выходное напряжение (новый верхний предел измерений).

Мы хотим, чтобы новый верхний предел измерений был равен \(V_{out}\).

Подставляем известные значения в формулу и решаем уравнение относительно \(R_{2}\):

\(V_{out} = \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}} \cdot V_{in}\)

\(V_{out} = \frac{R_{2}}{4000 + R_{2}} \cdot 100\)

Решаем уравнение:

\(V_{out} \cdot (4000 + R_{2}) = R_{2} \cdot 100\)

\(4000 \cdot V_{out} + R_{2} \cdot V_{out} = R_{2} \cdot 100\)

Раскрываем скобки:

\(4000 \cdot V_{out} + R_{2} \cdot V_{out} = 100 \cdot R_{2}\)

\(4000 \cdot V_{out} = 100 \cdot R_{2} - R_{2} \cdot V_{out}\)

Выражаем \(R_{2}\):

\(R_{2} \cdot (100 - V_{out}) = 4000 \cdot V_{out}\)

\(R_{2} = \frac{4000 \cdot V_{out}}{100 - V_{out}}\)

Таким образом, сопротивление \(R_{2}\), которое должен иметь добавочный резистор, чтобы расширить верхний предел измерений вольтметра до 100 В, равно \(\frac{4000 \cdot V_{out}}{100 - V_{out}}\).