Задание. Перечислены векторы a= -7i+2k, b=2i-6i+4k, c=i-3j+2k. Вычислить смешанное произведение трех векторов

Dobryy_Lis_3863

45

Решение:

1. Вычисление смешанного произведения:

Смешанное произведение трех векторов \( \overrightarrow{a}, -2\overrightarrow{b}, -7\overrightarrow{c} \) определяется по формуле:

\[ \overrightarrow{a} \cdot (-2\overrightarrow{b} \times -7\overrightarrow{c}) \]

Сначала найдем векторные произведения вида \( \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} \):

\[ \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -6 & 4 \\ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} \]

\[ = (\mathbf{i} \cdot ((-6)(2) - (4)(-3))) - (\mathbf{j} \cdot ((2)(2) - (4)(1))) + (\mathbf{k} \cdot ((2)(-3) - (-6)(1))) \]

\[ = (6 - 12)\mathbf{i} - (4 - 4)\mathbf{j} + (-6 + 6)\mathbf{k} \]

\[ = -6\mathbf{i} \]

Теперь вычислим смешанное произведение:

\[ \overrightarrow{a} \cdot (-2\overrightarrow{b} \times -7\overrightarrow{c}) = \overrightarrow{a} \cdot (-2(-6\mathbf{i})) = \overrightarrow{a} \cdot (12\mathbf{i}) \]

Подставляем значения векторов \( \overrightarrow{a} \) и \( \overrightarrow{i} \):

\[ = (-7\mathbf{i} + 2\mathbf{k}) \cdot 12\mathbf{i} = -84 \]

Таким образом, значение смешанного произведения трех векторов равно -84.

2. Нахождение модуля векторного произведения:

Модуль векторного произведения \( \overrightarrow{4b} \times \overrightarrow{3c} \) рассчитывается по формуле:

\[ \| \overrightarrow{4b} \times \overrightarrow{3c} \| = \| 12(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) \| \]

Уже вычислили векторное произведение \( \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} = -6\mathbf{i} \), поэтому:

\[ \| \overrightarrow{4b} \times \overrightarrow{3c} \| = \| 12(-6\mathbf{i}) \| = \| -72\mathbf{i} \| = 72 \]

Таким образом, модуль векторного произведения равен 72.

3. Вычисление скалярного произведения:

Скалярное произведение векторов \( 2\overrightarrow{a} \) и \( -7\overrightarrow{c} \) вычисляется как:

\[ 2\overrightarrow{a} \cdot -7\overrightarrow{c} = 2(-7)(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}) \]

Подставляем значения векторов \( \overrightarrow{a} \) и \( \overrightarrow{c} \):

\[ = 2(-7)((-7)(1) + 2(-3) + 0) = -98 \]

Таким образом, скалярное произведение векторов равно -98.

4. Проверка коллинеарности и ортогональности:

а) Коллинеарность векторов \( \overrightarrow{b} \) и \( \overrightarrow{c} \):

Для того, чтобы векторы были коллинеарными, их смешанное произведение должно быть равно 0. Мы уже вычислили смешанное произведение векторов равным -84, следовательно, векторы \( \overrightarrow{b} \) и \( \overrightarrow{c} \) не коллинеарны.

б) Ортогональность векторов \( \overrightarrow{b} \) и \( \overrightarrow{c} \):

Для ортогональности векторов их скалярное произведение должно равняться 0. Вычислим скалярное произведение:

\[ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = (2)(1) + (-6)(-3) + (4)(2) = 2 + 18 + 8 = 28 \neq 0 \]

Таким образом, векторы \( \overrightarrow{b} \) и \( \overrightarrow{c} \) не ортогональны.

5. Проверка компланарности векторов:

Три вектора компланарны, если их смешанное произведение равно нулю. Вычислим смешанное произведение векторов \( \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \) и \( \overrightarrow{c} \):

\[ \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) = -7(6) = -42 \neq 0 \]

Таким образом, векторы \( \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \) и \( \overrightarrow{c} \) не компланарны.

Это завершает решение задачи. Если у вас есть еще вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь обращаться!