Задания: 1. Найдите наиболее оптимальный способ вычисления значения выражения. 18^²-15^² +18]5 33 2 2. Разложите

Звездопад_В_Космосе

31

Здравствуйте! Давайте рассмотрим каждое задание по порядку:

Задание 1:
Для вычисления значения выражения \(18^2 - 15^2 + \frac{18}{5}\) нам нужно выполнить несколько действий.

Сначала возводим 18 в квадрат и получаем \(18^2 = 324\). Затем возводим 15 в квадрат и получаем \(15^2 = 225\).

Теперь мы можем подставить эти значения в исходное выражение: \(324 - 225 + \frac{18}{5}\).

Для выполнения деления нам нужно привести 18 к общему знаменателю с помощью умножения и получаем \(\frac{18}{5} = \frac{18 \cdot 1}{5 \cdot 1} = \frac{18}{5}\).

Теперь мы можем выполнять вычисления: \(324 - 225 + \frac{18}{5} = 99 + \frac{18}{5}\).

Для сложения нам также нужно привести \(\frac{18}{5}\) к общему знаменателю с 5: \(\frac{18}{5} = \frac{18 \cdot 1}{5 \cdot 1} = \frac{18}{5}\).

Теперь мы можем выполнить сложение: \(99 + \frac{18}{5} = \frac{99 \cdot 5}{1 \cdot 5} + \frac{18}{5} = \frac{495}{5} + \frac{18}{5}\).

Выполняем сложение дробей: \(\frac{495}{5} + \frac{18}{5} = \frac{495 + 18}{5} = \frac{513}{5}\).

Значение выражения равно \(\frac{513}{5}\).

Задание 2:
Разложим каждый из многочленов на простые множители.

а) Разложим \(2a^3 - 54\):
Сначала выносим общий множитель 2: \(2(a^3 - 27)\).

Далее применяем формулу разности кубов: \(a^3 - 27 = (a - 3)(a^2 + 3a + 9)\).

Итак, \(2a^3 - 54 = 2(a - 3)(a^2 + 3a + 9)\).

б) Разложим \(a^2 - 2ax + x^2 + 4a - 4x\):

Этот многочлен не может быть разложен на простые множители, поскольку не имеет общих множителей у всех его членов. Таким образом, \(a^2 - 2ax + x^2 + 4a - 4x\) является его окончательным разложением на простые множители.

Задание 3:
Упростим и вычислим значение выражения \((3x - 4)^2 + (2x - 4)(2x + 4) + 65x\) при \(x = -3\).

Для начала возводим \(3x - 4\) в квадрат: \((3x - 4)^2 = (3x - 4)(3x - 4) = 9x^2 - 12x - 12x + 16 = 9x^2 - 24x + 16\).

Теперь упрощаем второе слагаемое \((2x - 4)(2x + 4)\):
\((2x - 4)(2x + 4) = 2x\cdot 2x + 2x \cdot 4 - 4 \cdot 2x - 4 \cdot 4 = 4x^2 + 8x - 8x - 16 = 4x^2 - 16\).

Итак, наше выражение примет вид: \(9x^2 - 24x + 16 + 4x^2 - 16 + 65x\).

Далее объединяем все подобные слагаемые: \(9x^2 + 4x^2 - 24x + 65x + 16 - 16\).

Выполняем действия по сложению и вычитанию: \(13x^2 + 41x\).

Теперь подставляем \(x = -3\) и вычисляем значение: \(13\cdot(-3)^2 + 41\cdot(-3) = 13\cdot9 - 41\cdot3 = 117 - 123 = -6\).

Итак, значение выражения при \(x = -3\) равно -6.

Задание 4:
Найдем два числа, для которых разность их квадратов равна 25, а сумма также равна 25.

Пусть первое число будет \(x\), тогда второе число будет \(25 - x\).

Выражение "разность их квадратов равна 25" можно записать в виде уравнения: \(x^2 - (25 - x)^2 = 25\).

Разложим разность квадратов: \(x^2 - (25 - x)(25 - x) = x^2 - (625 - 50x + x^2) = x^2 - 625 + 50x - x^2 = 50x - 625\).

Теперь у нас есть уравнение: \(50x - 625 = 25\).

Решаем уравнение: \(50x = 25 + 625\), \(50x = 650\), \(x = \frac{650}{50}\), \(x = 13\).

Таким образом, первое число равно 13, а второе число равно \(25 - x = 25 - 13 = 12\).

Ответ: два числа, для которых разность их квадратов равна 25, а их сумма также равна 25, это 13 и 12.