Застосувавши векторний метод, продемонструйте, що довжини діагоналей квадрата є рівними

Margarita

48

Щоб продемонструвати, що довжини діагоналей квадрата є рівними, спочатку розглянемо векторний метод.

Уявімо собі квадрат зі стороною \(a\). Для зручності позначимо вершини квадрата як \(A, B, C, D\), таким чином: \(A\) - вершина в лівому верхньому куті, \(B\) - вершина в правому верхньому куті, \(C\) - вершина в правому нижньому куті і \(D\) - вершина в лівому нижньому куті.

Спочатку розглянемо діагональ \(AC\). Для того щоб знайти вектор \(AC\), ми можемо відняти вектор \(A\rightarrow C\) від вектора \(A\rightarrow A\). Оскільки позначення позначає напрямок та відстань між двома точками, вектор \(A\rightarrow A\) буде нульовим вектором. Отже, вектор \(AC\) зводиться до \(AC = C\).

Тепер розглянемо діагональ \(BD\). Аналогічно, ми можемо знайти вектор \(BD\), віднявши вектор \(B\rightarrow D\) від вектора \(B\rightarrow B\), що також є нульовим вектором. Тому, вектор \(BD\) також дорівнює \(BD = D\).

Отже, ми бачимо, що вектори \(AC\) і \(BD\) є рівними і дорівнюють \(a\). Це можна сформулювати так: \(\vec{AC} = \vec{BD} = a\).

Тепер порівняємо довжини діагоналей. За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику \(BCD\) з гіпотенузою \(BD\) і катетами \(BC\) і \(CD\), сума квадратів катетів є рівною квадрату гіпотенузи:

\[BD^2 = BC^2 + CD^2 \hspace{20pt} (1)\]

Аналогічно, в прямокутному трикутнику \(CDA\) з гіпотенузою \(AC\) і катетами \(CD\) і \(DA\), отримуємо:

\[AC^2 = CD^2 + DA^2 \hspace{20pt} (2)\]

Оскільки \(AC = BD = a\), ми можемо перетворити рівняння (1) і (2):

\[a^2 = BC^2 + CD^2 \hspace{20pt} (3)\]
\[a^2 = CD^2 + DA^2 \hspace{20pt} (4)\]

Зіставляючи рівняння (3) і (4), ми бачимо, що \(BC^2 + CD^2 = CD^2 + DA^2\). Віднімаючи \(CD^2\) з обох боків, отримуємо \(BC^2 = DA^2\). Це показує, що квадрати довжин катетів \(BC\) і \(DA\) є рівними.

Тож, з використанням векторного методу ми продемонстрували, що довжини діагоналей квадрата є рівними. Будь-який квадрат має цю властивість і підтверджує відповідність теоремі.