Завтра состоится экзамен. Было проведено контрольное испытание на 15 лампах для определения средней продолжительности

Zagadochnyy_Peyzazh

48

Для определения доверительной вероятности точности среднего значения используется доверительный интервал. Доверительный интервал показывает диапазон значений, в котором с определенной вероятностью находится истинное среднее значение выборки.

Для решения данной задачи мы можем использовать формулу доверительного интервала для среднего значения:

\[ доверительный\,интервал = (\bar{x} - t\frac{s}{\sqrt{n}}, \bar{x} + t\frac{s}{\sqrt{n}}) \]

где:
- \(\bar{x}\) - выборочное среднее значение
- \(t\) - критическое значение t-распределения с \(n-1\) степенью свободы и заданной доверительной вероятностью (\(t\) можно найти в таблице значений для заданной доверительной вероятности)
- \(s\) - стандартное отклонение выборки
- \(n\) - размер выборки

В данной задаче у нас есть выборка из 15 ламп. Среднее значение продолжительности горения ламп \( \bar{x} = 3000 \) часов, а стандартное отклонение \( s = 16 \) часов.

Теперь нам нужно найти критическое значение t с заданной доверительной вероятностью. Предположим, что мы хотим найти доверительный интервал с вероятностью 95%. Для этого нам нужно найти значение t при \( n-1 = 14 \) степенях свободы и \( \alpha = 0.05 \) (половина от доверительной вероятности, так как распределение симметричное).

Используя таблицу t-распределения, мы находим \( t = 2.145 \) (приближенное значение для данного числа степеней свободы и уровня значимости).

Теперь мы можем подставить все значения в формулу доверительного интервала:

\[ доверительный\,интервал = (3000 - 2.145\frac{16}{\sqrt{15}}, 3000 + 2.145\frac{16}{\sqrt{15}}) \]

Подсчитаем значения:

\[ доверительный\,интервал = (2947.272, 3052.728) \]

Таким образом, с вероятностью 95% среднее значение продолжительности горения ламп находится в интервале от 2947.272 до 3052.728 часов.