Какой периметр прямоугольника, если его площадь равна 168 квадратным сантиметрам, а длина превышает ширину

Zolotoy_Orel

47

Чтобы найти периметр прямоугольника, нам нужно знать его длину и ширину. Давайте начнем с того, что представим длину прямоугольника как \(x\) сантиметров. Тогда ширина будет равна \(x - 2\) сантиметра, так как "длина превышает ширину на 2 сантиметра".

Теперь мы знаем площадь прямоугольника и можем записать уравнение для определения периметра:

\[Площадь = Длина \times Ширина\]

Подставим значения в формулу:

\[168 = x \times (x - 2)\]

Упростим уравнение, умножив \(x\) на \(x - 2\):

\[168 = x^2 - 2x\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Приведем его к стандартному виду, чтобы решить его:

\[x^2 - 2x - 168 = 0\]

Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или используя квадратное уравнение. Я воспользуюсь последним подходом.

Для решения уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) нам нужно вычислить дискриминант по формуле:

\[D = b^2 - 4ac\]

В нашем случае, \(a = 1\), \(b = -2\), и \(c = -168\), поэтому:

\[D = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-168)\]

\[D = 4 + 672\]

\[D = 676\]

Дискриминант равен 676. Теперь, если дискриминант положительный, у нас будет два корня: один будет положительным, а другой - отрицательным. Но, так как мы говорим о длине и ширине прямоугольника, геометрически нам нужны только положительные значения. Таким образом, мы будем использовать только положительное значение дискриминанта.

Теперь, чтобы найти значения \(x\), мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\]

Подставив значения, получаем:

\[x = \frac{{-(-2) \pm \sqrt{676}}}{{2 \times 1}}\]

Упростим:

\[x = \frac{{2 \pm \sqrt{676}}}{{2}}\]

Теперь вычислим корни:

\[x_1 = \frac{{2 + \sqrt{676}}}{{2}}\]
\[x_2 = \frac{{2 - \sqrt{676}}}{{2}}\]

Вычислим значения:

\[x_1 = \frac{{2 + 26}}{{2}} = \frac{{28}}{{2}} = 14\]
\[x_2 = \frac{{2 - 26}}{{2}} = \frac{{-24}}{{2}} = -12\]

Мы получили два значения для \(x\): 14 и -12. Однако, в нашем случае, отрицательное значение не имеет физического смысла, так как мы не можем иметь отрицательную длину или ширину. Таким образом, длина прямоугольника равна 14 сантиметрам, а ширина будет \(14 - 2 = 12\) сантиметров.

Теперь мы можем найти периметр прямоугольника, используя формулу:

\[Периметр = 2 \times (Длина + Ширина)\]

Подставим значения:

\[Периметр = 2 \times (14 + 12) = 2 \times 26 = 52\]

Таким образом, периметр прямоугольника составляет 52 сантиметра.