Значение площади круга, описанного вокруг правильного многоугольника, если площадь вписанного в него круга в 1/4 раза

Ярослава

4

Хорошо, давайте посмотрим на эту задачу подробно и объясним каждый шаг.

Предположим, правильный многоугольник имеет \(n\) сторон и сторона многоугольника равна \(s\). Радиус вписанного в него круга будет равен \(r\).

Площадь вписанного круга можно вычислить по формуле для площади круга:

\[S_{\text{впис.круга}} = \pi \cdot r^2\]

Также, известно, что площадь вписанного круга в 1/4 раза больше площади описанного круга, то есть:

\[S_{\text{внеш.круга}} = 4 \cdot S_{\text{впис.круга}}\]

Перейдем к вычислению площади описанного круга. Для этого нам понадобится знать длину радиуса описанного круга \(R\).

Радиус описанного круга связан с радиусом вписанного круга и стороной многоугольника следующим соотношением:

\[R = \frac{s}{2 \cdot \sin \left(\frac{\pi}{n}\right)}\]

Теперь мы можем вычислить площадь описанного круга по формуле для площади круга:

\[S_{\text{внеш.круга}} = \pi \cdot R^2\]

Подставим полученное значение для радиуса описанного круга:

\[S_{\text{внеш.круга}} = \pi \cdot \left(\frac{s}{2 \cdot \sin \left(\frac{\pi}{n}\right)}\right)^2\]

Теперь у нас есть два уравнения, связывающих площади вписанного и описанного кругов. Давайте выразим радиус вписанного круга \(r\) через сторону многоугольника \(s\) и количество сторон многоугольника \(n\) из первого уравнения.

Переупорядочим уравнение:

\[S_{\text{впис.круга}} = \pi \cdot r^2\]

\[r^2 = \frac{S_{\text{впис.круга}}}{\pi}\]

\[r = \sqrt{\frac{S_{\text{впис.круга}}}{\pi}}\]

Теперь заменим \(S_{\text{впис.круга}}\) на \(4 \cdot S_{\text{внеш.круга}}\) в полученной формуле:

\[r = \sqrt{\frac{4 \cdot S_{\text{внеш.круга}}}{\pi}}\]

Теперь, используя полученное значение для радиуса, найдем площадь описанного круга \(S_{\text{внеш.круга}}\):

\[S_{\text{внеш.круга}} = \pi \cdot \left(\frac{s}{2 \cdot \sin \left(\frac{\pi}{n}\right)}\right)^2\]

Теперь, просто подставим полученные выражения для радиуса и площади описанного круга в уравнение:

\[4 \cdot S_{\text{внеш.круга}} = \pi \cdot r^2\]

\[4 \cdot S_{\text{внеш.круга}} = \pi \cdot \left(\sqrt{\frac{4 \cdot S_{\text{внеш.круга}}}{\pi}}\right)^2\]

Выполним вычисления:

\[4 \cdot S_{\text{внеш.круга}} = \pi \cdot \left(\frac{2 \cdot \sqrt{S_{\text{внеш.круга}}}}{\sqrt{\pi}}\right)^2\]

\[4 \cdot S_{\text{внеш.круга}} = \pi \cdot \frac{4 \cdot S_{\text{внеш.круга}}}{\pi}\]

\[4 \cdot S_{\text{внеш.круга}} = 4 \cdot S_{\text{внеш.круга}}\]

Таким образом, мы видим, что площадь описанного круга равна площади вписанного круга, если площадь вписанного круга в 1/4 раза больше.

Итак, значение площади круга, описанного вокруг правильного многоугольника, равно значению площади вписанного в него круга.

Этот результат обусловлен геометрическими свойствами правильных многоугольников и вписанных кругов в них.