Знайдіть об єм тіла, яке отримано в результаті обертання прямокутного трикутника навколо прямої, що містить катет

Милочка

22

Для того чтобы найти объем тела, полученного в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет длиной 5 см и гипотенузу длиной \( c \) см, мы можем использовать формулу для объема тела вращения.

Формула для объема тела, полученного вращением фигуры вокруг прямой, заданной уравнением \( x = f(y) \) на интервале от \( y = a \) до \( y = b \), где \( a \) и \( b \) - координаты точек пересечения фигуры с прямой, имеет вид:
\[ V = \pi \int_{a}^{b} (f(y))^2 dy \]

В данном случае, катет прямоугольного треугольника является осью вращения, поэтому уравнение прямой будет \( x = 5 \).
Также нам известна гипотенуза длиной \( c \).

Чтобы найти границы интегрирования \( a \) и \( b \), нужно найти координаты точек пересечения прямой \( x = 5 \) с гипотенузой.

Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину гипотенузы:
\[
c = \sqrt{(5\,см)^2 + b^2}
\]

Теперь решим это уравнение относительно \( b \):
\[
b = \sqrt{c^2 - (5\,см)^2}
\]

Таким образом, координаты точек пересечения равны (0, 0) и (b, 5).

Теперь мы можем записать интеграл для нахождения объема вращения:
\[
V = \pi \int_{0}^{b} (5)^2 dy
\]
\[
V = \pi \int_{0}^{b} 25 dy
\]
\[
V = 25\pi \int_{0}^{b} dy
\]
\[
V = 25\pi [y]_{0}^{b}
\]
\[
V = 25\pi [b - 0]
\]
\[
V = 25\pi b
\]
\[
V = 25\pi \sqrt{c^2 - (5\,см)^2}
\]

Таким образом, объем тела, полученного вращением прямоугольного треугольника вокруг заданной прямой, равен \( 25\pi \sqrt{c^2 - (5\,см)^2} \) кубических сантиметров.