Знайдіть обсяг циліндра, якщо діагональ основи циліндра нахилена до площини основи під кутом а, а периметр основи

Магия_Моря

38

Щоб знайти об"єм циліндра, будемо використовувати формулу \(V = S \cdot h\), де \(V\) - об"єм, \(S\) - площа основи, а \(h\) - висота циліндра.

Почнемо з розрахунку площі основи. Ми знаємо, що периметр основи циліндра дорівнює, представимо це формулою:

\[P = 2 \pi r\]

де \(P\) - периметр, а \(r\) - радіус основи. Розрахуємо радіус:

\[r = \frac{P}{2 \pi}\]

Тепер знайдемо площу основи. Площа круга обчислюється за формулою \(S = \pi r^2\). Підставимо значення \(r\) в цю формулу:

\[S = \pi \left( \frac{P}{2\pi} \right)^2 = \frac{P^2}{4\pi}\]

Тепер, коли у нас є площа основи, ми можемо розрахувати об"єм циліндра. Оскільки діагональ основи циліндра нахилена до площини основи під кутом \(\alpha\), ми можемо використати тригонометрію для визначення висоти циліндра. Зв"яжемо висоту циліндра, радіус і кут \(\alpha\) за допомогою трикутника прямокутним \(ABC\):

\[
\begin{align*}
AC & = r \\
BC & = h \\
\angle ACB & = \alpha
\end{align*}
\]

Розглянемо прямокутний трикутник \(ADC\):

\[
\begin{align*}
\sin \alpha & = \frac{AC}{AD} \\
AD & = \frac{AC}{\sin \alpha} = \frac{r}{\sin \alpha}
\end{align*}
\]

Оскільки висота циліндра дорівнює стороні \(AD\), отримуємо:

\[h = \frac{r}{\sin \alpha}\]

Тепер підставимо отримані значення \(S\) і \(h\) у формулу для об"єму циліндра:

\[V = S \cdot h = \frac{P^2}{4\pi} \cdot \frac{r}{\sin \alpha} = \frac{P^2 \cdot r}{4\pi \cdot \sin \alpha}\]

Отже, об"єм циліндра дорівнює \(\frac{P^2 \cdot r}{4\pi \cdot \sin \alpha}\).