Знайдіть площу трикутника АВК в паралелограмі ABCD (див. рисунок), якщо площа паралелограма дорівнює 18. (Задача перша

Letuchiy_Volk_6926

22

Задача 1:

Для вычисления площади треугольника АВК в параллелограмме ABCD, нам необходимо знать высоту треугольника, проектируемую на сторону АВК. Так как у нас нет данных о высоте, предположим, что основание АВК является стороной параллелограмма АВСD, параллельной стороне BC.

Площадь параллелограмма ABCD равна 18, значит, чтобы найти высоту, мы должны разделить произведение длины стороны BC на высоту:

\[18 = BC \cdot h\]

Теперь нам нужно найти отношение стороны АВК к стороне ВС. По условию, сторона ВС в 1 раз меньше основания АВ. Таким образом, сторона АВК также будет в 1 раз меньше основания АВ параллелограмма:

\[AK = \frac{1}{3} \cdot AB\]

Следовательно, площадь треугольника АВК можно выразить как:

\[S_{\text{АВК}} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot AB\right) \cdot h\]

Теперь мы можем составить замену переменных, чтобы исключить высоту из уравнения.

Заметим, что площадь параллелограмма ABCD равна произведению его высоты на основание BC. Тогда мы можем записать:

\[18 = BC \cdot h = BC \cdot \left(3 \cdot AK\right)\]

Таким образом, выражая высоту через стороны и площадь треугольника, получаем:

\[h = \frac{18}{3 \cdot AK} = \frac{6}{AK}\]

Подставим это обратно в выражение для площади треугольника:

\[S_{\text{АВК}} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot AB\right) \cdot \left(\frac{6}{AK}\right)\]

У нас есть еще одно условие: площадь треугольника BCD равна 4. По формуле для площади треугольника:

\[S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD = 4\]

Но мы знаем, что BC = AK, так как сторона BC является стороной треугольника ABK. Заменим BC на AK и составим уравнение:

\[\frac{1}{2} \cdot AK \cdot CD = 4\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[S_{\text{АВК}} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot AB\right) \cdot \left(\frac{6}{AK}\right)\]
\[\frac{1}{2} \cdot AK \cdot CD = 4\]

Из первого уравнения можно выразить AB через AK:

\[AB = 3 \cdot AK\]

Подставим это в оба уравнения и решим систему уравнений:

\[\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot AK\right) \cdot \left(\frac{6}{AK}\right) = \frac{1}{6} \cdot 6 = 1\]

\[\frac{1}{2} \cdot AK \cdot CD = 4\]

Теперь можем найти AK и CD:

\[AK = 6\]
\[CD = 8\]

Теперь вычислим площадь треугольника АВК:

\[S_{\text{АВК}} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot AB\right) \cdot \left(\frac{6}{AK}\right) = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 6\right) \cdot \left(\frac{6}{6}\right) = \frac{18}{6} = 3\]

Таким образом, площадь треугольника АВК в параллелограмме ABCD равна 3.

Задача 2:

Для вычисления площади трапеции ABCD, нам необходимо знать высоту трапеции, проектируемую на основание АD. У нас нет прямых данных о высоте, поэтому предположим, что высота трапеции равна высоте треугольника BCD.

Площадь треугольника BCD равна 4, значит, чтобы найти высоту, мы должны разделить произведение длины основания BC на высоту:

\[4 = BC \cdot h\]

Теперь нам нужно найти отношение стороны BC к стороне AD. По условию, сторона BC в 1 раз меньше основания AD:

\[BC = \frac{1}{3} \cdot AD\]

Следовательно, площадь трапеции ABCD можно выразить как:

\[S_{\text{ABCD}} = \frac{1}{2} \cdot (BC + AD) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot AD + AD\right) \cdot h\]

Теперь мы можем составить замену переменных, чтобы исключить высоту из уравнения. Заметим, что площадь треугольника BCD равна произведению его высоты на основание BC. Тогда мы можем записать:

\[4 = BC \cdot h = \left(\frac{1}{3} \cdot AD\right) \cdot h\]

Таким образом, выражая высоту через стороны и площадь треугольника, получаем:

\[h = \frac{4}{\frac{1}{3} \cdot AD} = 12 \cdot AD\]

Подставим это обратно в выражение для площади трапеции:

\[S_{\text{ABCD}} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot AD + AD\right) \cdot \left(12 \cdot AD\right)\]

У нас есть еще одно условие: площадь трапеции равна 18. По формуле для площади трапеции:

\[S_{\text{ABCD}} = \frac{1}{2} \cdot (BC + AD) \cdot h = 18\]

Но мы знаем, что BC = \(\frac{1}{3} \cdot AD\) и \(h = 12 \cdot AD\). Заменим это в уравнении и решим его:

\[\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot AD + AD\right) \cdot (12 \cdot AD) = 18\]

\[\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot AD\right) \cdot (12 \cdot AD) = 18\]

\[\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot 12 \cdot AD^2 = 18\]

Упростим это выражение:

\[\frac{2}{3} \cdot 12 \cdot AD^2 = 18\]

Умножим на 3/2 с обеих сторон:

\[12 \cdot AD^2 = 27\]

Разделим на 12:

\[AD^2 = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}\]

Извлечем корень из обеих сторон:

\[AD = \frac{3}{2}\]

Так как BC = \(\frac{1}{3} \cdot AD\), мы можем найти BC:

\[BC = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{2}\]

Теперь мы можем найти высоту:

\[h = 12 \cdot AD = 12 \cdot \frac{3}{2} = 18\]

И наконец, вычислим площадь трапеции ABCD:

\[S_{\text{ABCD}} = \frac{1}{2} \cdot (BC + AD) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{2}\right) \cdot 18 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{2} \cdot 18 = 2 \cdot 18 = 36\]

Таким образом, площадь трапеции ABCD равна 36.

Задача 3:

Для вычисления площади треугольника KLM в прямоугольнике ABCD, мы можем применить свойство параллелограмма. Так как точки Е, F, М и L являются серединами сторон прямоугольника, то отрезки KM и EL перпендикулярны и равны между собой, а также точки K, E и М лежат на одной прямой.

Таким образом, мы можем разделить прямоугольник на два параллелограмма, где один из параллелограммов будет треугольником KLM.

Площадь прямоугольника ABCD равна произведению его сторон:

\[S_{\text{ABCD}} = AB \cdot BC = 64\]

Так как точки Е, F, М и L являются серединами сторон прямоугольника, то стороны квадрата KELM будут в два раза меньше сторон прямоугольника ABCD:

\[KL = \frac{1}{2} \cdot AB\]
\[KM = \frac{1}{2} \cdot BC\]

Площадь квадрата KELM можно выразить как:

\[S_{\text{KELM}} = KL \cdot KM = \left(\frac{1}{2} \cdot AB\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot BC\right)\]

Подставим значения сторон из площади прямоугольника и решим уравнение:

\[S_{\text{KELM}} = \left(\frac{1}{2} \cdot AB\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot BC\right) = \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{64}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 8\right) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16\]

Таким образом, площадь треугольника KLM в прямоугольнике ABCD равна 16.