Знайдіть точку на осі х, яка має однакову відстань від точок А(-2;-2;5) і В(4;-3;1

Morskoy_Kapitan_9462

53

Здравствуйте! Чтобы найти точку на оси \(x\), которая имеет одинаковое расстояние от точек \(A(-2;-2;5)\) и \(B(4;-3;1)\), мы можем использовать формулу для расстояния между двумя точками.

Для начала, давайте найдем расстояние между точками \(A\) и \(B\):

\[
d_{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
\]

Где \(x_1 = -2\), \(y_1 = -2\), \(z_1 = 5\) - координаты точки \(A\), а \(x_2 = 4\), \(y_2 = -3\), \(z_2 = 1\) - координаты точки \(B\).

Подставляем значения и вычисляем:

\[
d_{AB} = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-3 - (-2))^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 1 + 16} = \sqrt{53}
\]

Теперь, чтобы найти точку на оси \(x\) с одинаковым расстоянием от точек \(A\) и \(B\), мы можем использовать симметрию относительно плоскости \(yz\). Это означает, что \(y\) и \(z\) координаты данной точки будут такими же, как у точки \(A\), а \(x\) координата будет такая же, как у точки \(B\).

Таким образом, искомая точка будет \(P(x, -2, 5)\), где \(x\) - координата точки на оси \(x\).

Теперь, чтобы расстояние от точки \(P\) до точки \(A\) равнялось расстоянию от точки \(P\) до точки \(B\), мы можем использовать эту формулу для расстояния между двумя точками:

\[
d_{AP} = d_{BP}
\]

Подставляем значения и решаем уравнение:

\[
\sqrt{(x - (-2))^2 + (-2 - (-2))^2 + (5 - 5)^2} = \sqrt{(x - 4)^2 + (-3 - (-2))^2 + (1 - 5)^2}
\]

Упрощаем выражения:

\[
\sqrt{(x + 2)^2 + 0 + 0} = \sqrt{(x - 4)^2 + 1 + 16}
\]

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

\[
(x + 2)^2 = (x - 4)^2 + 17
\]

Раскрываем скобки:

\[
x^2 + 4x + 4 = x^2 - 8x + 16 + 17
\]

Упрощаем выражения:

\[
4x + 4 = -8x + 33
\]

Переносим все \(x\) в одну сторону, а числа в другую:

\[
4x + 8x = 33 - 4
\]

\[
12x = 29
\]

Делим обе части на 12:

\[
x = \frac{29}{12}
\]

Таким образом, искомая точка на оси \(x\) равна \(P\left(\frac{29}{12}, -2, 5\right)\).

Надеюсь, этот ответ понятен школьнику. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!