Каковы длины диагоналей, площадь полной поверхности и объем прямоугольного параллелепипеда, у которого стороны равны

Валентинович

23

Для начала рассчитаем длины диагоналей прямоугольного параллелепипеда. У нас есть две диагонали: одна соединяет вершины, противоположные по плоскости основания, а другая соединяет вершину и противоположное ребро.

Для первой диагонали, соединяющей вершины, противоположные по плоскости основания, мы можем использовать теорему Пифагора. Её формула:

\[d_1 = \sqrt{a^2 + b^2}\]

Где \(d_1\) - длина первой диагонали, \(a\) - длина одной стороны прямоугольного параллелепипеда, \(b\) - длина другой стороны прямоугольного параллелепипеда.

В нашем случае \(a = 1 \, \text{см}\), \(b = 3 \, \text{см}\), поэтому:

\[d_1 = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}\]

Таким образом, длина первой диагонали равна \(\sqrt{10} \, \text{см}\).

Теперь рассчитаем длину второй диагонали, соединяющей вершину и противоположное ребро. Для этого мы можем также воспользоваться теоремой Пифагора. В данном случае формула будет выглядеть так:

\[d_2 = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\]

Где \(d_2\) - длина второй диагонали, \(a\) - длина одной стороны прямоугольного параллелепипеда, \(b\) - длина другой стороны прямоугольного параллелепипеда, \(c\) - длина третьей стороны прямоугольного параллелепипеда.

У нас нет информации о третьей стороне параллелепипеда, поэтому предположим, что \(c = 1 \, \text{см}\).

Тогда подставим значения в формулу:

\[d_2 = \sqrt{1^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 9 + 1} = \sqrt{11}\]

Таким образом, длина второй диагонали равна \(\sqrt{11} \, \text{см}\).

Теперь перейдем к рассчету площади полной поверхности прямоугольного параллелепипеда. Площадь полной поверхности состоит из шести прямоугольников, каждый из которых соответствует одной стороне параллелепипеда.

Формула для нахождения площади полной поверхности:

\[S = 2(ab + ac + bc)\]

Где \(S\) - площадь полной поверхности, \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон прямоугольного параллелепипеда.

Подставим значения в формулу и рассчитаем:

\[S = 2(1 \cdot 3 + 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1) = 2(3 + 1 + 3) = 2 \cdot 7 = 14\]

Таким образом, площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна \(14 \, \text{см}^2\).

Наконец, рассчитаем объем прямоугольного параллелепипеда. Формула для нахождения объема:

\[V = abc\]

Где \(V\) - объем, \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон прямоугольного параллелепипеда.

Подставим значения в формулу и рассчитаем:

\[V = 1 \cdot 3 \cdot 1 = 3\]

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда равен \(3 \, \text{см}^3\).

Итак, ответ на задачу:

Длина первой диагонали: \(\sqrt{10} \, \text{см}\)

Длина второй диагонали: \(\sqrt{11} \, \text{см}\)

Площадь полной поверхности: \(14 \, \text{см}^2\)

Объем: \(3 \, \text{см}^3\)