Знайти послідовність (Xn), яка задана рекурентною формулою Xn+1=3xn і X1=-1

Gloriya

68

Хорошо! Для решения данной задачи нам потребуется найти рекурентную формулу для \(X_n\) и использовать ее для вычисления последовательности.

У нас дана рекурентная формула \(X_{n+1} = 3X_n\) и начальное условие \(X_1 = -1\). Давайте приступим к поэтапному решению этой задачи.

Шаг 1: Найдем первые несколько значений последовательности, чтобы определить закономерность.

Используя начальное условие \(X_1 = -1\) и рекурентную формулу \(X_{n+1} = 3X_n\), мы можем вычислить следующие значения:

\(X_2 = 3X_1 = 3(-1) = -3\)

\(X_3 = 3X_2 = 3(-3) = -9\)

\(X_4 = 3X_3 = 3(-9) = -27\)

Похоже, что каждое следующее значение последовательности умножается на 3 и становится все больше по модулю.

Шаг 2: Составим рекурентную формулу для \(X_n\).

Продолжая наблюдения, мы видим, что каждый элемент последовательности можно выразить через предыдущий элемент, умножив его на 3. Исходя из этого, мы можем записать общую формулу:

\[X_{n+1} = 3X_n\]

Шаг 3: Найдем явную формулу для \(X_n\).

Чтобы получить явную формулу для \(X_n\), мы можем использовать начальное условие \(X_1 = -1\). Давайте выразим каждое значение \(X_n\) через \(n\):

\(X_2 = 3X_1 = 3(-1) = -3\)

\(X_3 = 3X_2 = 3(-3) = -3^2\)

\(X_4 = 3X_3 = 3(-3^2) = -3^3\)

Мы видим, что каждое значение можно записать в виде \(-3^n\).

Таким образом, явная формула для \(X_n\) будет:

\[X_n = -3^n\]

Теперь мы можем использовать эту формулу для нахождения любого значения в последовательности. Если у вас есть конкретное значение \(n\), просто подставьте его вместо \(n\) в формулу \(X_n = -3^n\).

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять решение этой задачи! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.