Каков радиус маленькой сферы вписанной в правильный тетраэдр со стороной 48, в который также вписана большая сфера?

Петровна_7364

68

Для решения этой задачи, нам потребуется некоторое знание геометрии и свойств фигур. Давайте начнем с основных свойств тетраэдра.

Тетраэдр - это простая геометрическая фигура, состоящая из четырех треугольных граней. В данном случае, у нас есть правильный тетраэдр, что означает, что все его грани равнобедренные и равносторонние треугольники.

Рассмотрим вписанную в тетраэдр сферу. Вписанная сфера - это сфера, которая касается всех граней тетраэдра. Следует отметить, что для правильного тетраэдра центр вписанной сферы и центр описанной сферы совпадают.

Теперь перейдем к более конкретному вопросу о радиусе маленькой сферы. Зная, что большая сфера вписана в тетраэдр и касается его граней, например, точками A, B, C и D (где ABCD - вершины тетраэдра), мы должны понять, как связаны радиусы маленькой и большой сфер.

Положим, что радиусы маленькой и большой сфер равны \(r_1\) и \(r_2\) соответственно. Заметим, что плоскости, проходящие через стороны тетраэдра, являются плоскостями симметрии для этой фигуры. Это означает, что точки касания сферы с этими плоскостями являются вершинами правильного тетраэдра.

Таким образом, если мы рассмотрим одну из треугольных граней тетраэдра (например, треугольник ABC), то из точки касания описанной сферы с этой плоскостью (точка A) проведем перпендикуляр к стороне AB. Заметим, что этот перпендикуляр является радиусом описанной сферы. Поскольку это равнобедренный треугольник, этот перпендикуляр также является высотой треугольника.

Мы можем использовать геометрические свойства равнобедренного треугольника, чтобы выразить \(r_2\) через сторону тетраэдра. Поскольку ABC - равнобедренный треугольник, высота, проведенная из вершины A, разделяет его на два прямоугольных треугольника.

Теперь давайте обратимся к одному из этих прямоугольных треугольников, например, ABD. Мы знаем, что сторона AB тетраэдра равна 48. Пусть AD будет перпендикуляром, опущенным из вершины A на сторону BD. Мы обозначим точку пересечения AD и BD как точку O.

Так как AD - это высота прямоугольного треугольника ABD, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти OD. Мы имеем:
\[OD^2 + AD^2 = AO^2\]

Так как AD равно \(r_2\), мы можем записать это равенство как:
\[OD^2 + r_2^2 = AO^2\]

Заметим, что AO равно радиусу описанной сферы \(r_2\). Поэтому мы можем переписать это равенство как:
\[OD^2 + r_2^2 = r_2^2\]

Упрощая это уравнение, мы получим:
\[OD^2 = 0\]

Отсюда следует, что OD равно нулю. Это означает, что точка O совпадает с точкой D, что в свою очередь означает, что перпендикуляр, опущенный из точки A на сторону BD, пересекает сторону в точке ее середины.

Теперь нам нужно найти отношение между \(r_1\) (радиус маленькой сферы) и \(r_2\) (радиус большой сферы). Обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с стороной BD как точку M. Так как точка M - это середина стороны BD, то BM равно половине длины стороны BD, то есть BM равно половине 48, то есть равно 24.

Опять обратимся к равнобедренному треугольнику АВМ. Мы знаем, что AM - это радиус вписанной сферы, поэтому мы можем записать это отношение:
\[AM = \frac{r_1}{r_2} \cdot AB\]

Так как AB равно 48, мы можем записать:
\[24 = \frac{r_1}{r_2} \cdot 48\]

Решая это уравнение относительно \(r_1\), мы получим:
\[r_1 = \frac{24}{r_2} \cdot 48\]

Исходя из этого, школьник может найти радиус маленькой сферы, если ему известен радиус большой сферы \(r_2\).