Зрівняйте прискорення вільного падіння на поверхні планети, яка має радіус втричі більший, ніж радіус Землі, та масу

Snegir

5

Для того чтобы решить данную задачу, мы можем использовать закон всемирного тяготения Ньютона, который гласит, что сила притяжения между двумя телами пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Мы знаем, что ускорение свободного падения на поверхности Земли составляет около \(9.8 \, \text{м/с}^2\). Для нашего решения нам также необходимо узнать ускорение свободного падения на поверхности планеты с более большим радиусом и массой.

Допустим, масса Земли равна \(m_1\) и радиус Земли равен \(r_1\). Масса планеты с увеличенным радиусом и массой в 12 раз большей, чем Земля, равна \(m_2\) и радиус планеты обозначим как \(r_2\).

Мы можем использовать формулу для ускорения свободного падения, которая выражает его через массу планеты и радиус:
\[g = \frac{{G \cdot M}}{{R^2}},\]
где \(g\) - ускорение свободного падения, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса планеты, \(R\) - радиус планеты.

Первым делом найдем ускорение свободного падения на поверхности Земли:
\[g_1 = \frac{{G \cdot m_1}}{{r_1^2}}.\]

Учитывая, что масса планеты в 12 раз больше массы Земли, \(m_2 = 12 \cdot m_1\). А также, что радиус планеты втричи больше радиуса Земли, \(r_2 = 3 \cdot r_1\), поскольку условие задачи явно указывает на это.

Теперь можем вычислить ускорение свободного падения на поверхности планеты с большим радиусом и массой:
\[g_2 = \frac{{G \cdot m_2}}{{r_2^2}}.\]

Используя полученные значения, мы можем сравнить ускорения свободного падения:
\[\frac{{g_2}}{{g_1}} = \frac{{\frac{{G \cdot m_2}}{{r_2^2}}}}{{\frac{{G \cdot m_1}}{{r_1^2}}}}.\]

Здесь гравитационная постоянная \(G\) входит как в числитель, так и в знаменатель, что означает, что она сократится:
\[\frac{{g_2}}{{g_1}} = \frac{{m_2 \cdot r_1^2}}{{m_1 \cdot r_2^2}}.\]

Подставляя значения \(m_2 = 12 \cdot m_1\) и \(r_2 = 3 \cdot r_1\), получаем:
\[\frac{{g_2}}{{g_1}} = \frac{{12 \cdot m_1 \cdot r_1^2}}{{m_1 \cdot (3 \cdot r_1)^2}} = \frac{{12}}{{9}} = \frac{{4}}{{3}}.\]

Таким образом, прискорение свободного падения на поверхности планеты с втричи большим радиусом и массой в 12 раз большей, чем Земля, будет равно \(\frac{{4}}{{3}}\) от прискорения свободного падения на поверхности Земли.

Надеюсь, это решение понятно. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!