Зрівняйте прискорення вільного падіння на поверхні планети, яка має радіус втричі більший, ніж радіус Землі, та масу

Snegir

5

Для того чтобы решить данную задачу, мы можем использовать закон всемирного тяготения Ньютона, который гласит, что сила притяжения между двумя телами пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Мы знаем, что ускорение свободного падения на поверхности Земли составляет около $9.8{\text{м/с}}^2$. Для нашего решения нам также необходимо узнать ускорение свободного падения на поверхности планеты с более большим радиусом и массой.

Допустим, масса Земли равна $m_1$ и радиус Земли равен $r_1$. Масса планеты с увеличенным радиусом и массой в 12 раз большей, чем Земля, равна $m_2$ и радиус планеты обозначим как $r_2$.

Мы можем использовать формулу для ускорения свободного падения, которая выражает его через массу планеты и радиус:
$$g=\frac{G\cdot M}{R^2},$$
где $g$ - ускорение свободного падения, $G$ - гравитационная постоянная, $M$ - масса планеты, $R$ - радиус планеты.

Первым делом найдем ускорение свободного падения на поверхности Земли:
$$g_1=\frac{G\cdot m_1}{r_1^2}.$$

Учитывая, что масса планеты в 12 раз больше массы Земли, $m_2=12\cdot m_1$. А также, что радиус планеты втричи больше радиуса Земли, $r_2=3\cdot r_1$, поскольку условие задачи явно указывает на это.

Теперь можем вычислить ускорение свободного падения на поверхности планеты с большим радиусом и массой:
$$g_2=\frac{G\cdot m_2}{r_2^2}.$$

Используя полученные значения, мы можем сравнить ускорения свободного падения:
$$\frac{g_2}{g_1}=\frac{\frac{G\cdot m_2}{r_2^2}}{\frac{G\cdot m_1}{r_1^2}}.$$

Здесь гравитационная постоянная $G$ входит как в числитель, так и в знаменатель, что означает, что она сократится:
$$\frac{g_2}{g_1}=\frac{m_2\cdot r_1^2}{m_1\cdot r_2^2}.$$

Подставляя значения $m_2=12\cdot m_1$ и $r_2=3\cdot r_1$, получаем:
$$\frac{g_2}{g_1}=\frac{12\cdot m_1\cdot r_1^2}{m_1\cdot (3\cdot r_1{)}^2}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}.$$

Таким образом, прискорение свободного падения на поверхности планеты с втричи большим радиусом и массой в 12 раз большей, чем Земля, будет равно $\frac{4}{3}$ от прискорения свободного падения на поверхности Земли.

Надеюсь, это решение понятно. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!