05. На окружности расположены 5 точек красного цвета и 7 точек синего цвета. Какое количество различных отрезков (хорд

Летучая

14

05. Чтобы решить эту задачу, нам нужно рассмотреть количество отрезков (хорд), которые можно получить с разными и одинаковыми цветами.

а) Для отрезков разного цвета, мы можем выбрать одну красную точку из 5 возможных и одну синюю точку из 7 возможных. Таким образом, количество отрезков разного цвета будет равно произведению количества красных точек и количества синих точек. В данном случае это будет \(5 \times 7 = 35\). Итак, можно получить 35 различных отрезков разного цвета.

б) Для отрезков одинакового цвета, мы можем выбрать 2 точки одного цвета. Рассмотрим сначала красные точки. Используя комбинаторику, мы можем выбрать 2 красные точки из 5 возможных точек. Это можно сделать \({C_2^5} = \frac{{5!}}{{2! \cdot (5-2)!}} = \frac{{5 \cdot 4}}{{2 \cdot 1}} = 10\) способами. Аналогично, для синих точек, мы можем выбрать 2 синие точки из 7 возможных точек с \({C_2^7} = \frac{{7!}}{{2! \cdot (7-2)!}} = \frac{{7 \cdot 6}}{{2 \cdot 1}} = 21\) способами.

Итак, можно получить \(10 + 21 = 31\) различный отрезок одного цвета.

06. Чтобы проверить утверждение Барона Мюнхгаузена, мы должны выяснить, будет ли сумма нечётного количества рук нечётной или чётной.

Количество рук на Луне у всех лунатиков равно \(2003 \times 2 = 4006\), так как каждый человек имеет две руки.

Если это количество чётное, значит, мы можем разделить его поровну между людьми, и каждый человек будет иметь чётное количество рук. Однако это противоречит условию задачи, которое говорит, что каждый человек имеет нечётное количество рук. Следовательно, это утверждение Барона Мюнхгаузена неверно.

07. Чтобы доказать, что из любых трех целых чисел всегда можно выбрать два числа, сумма которых делится на 2, мы рассмотрим все возможные комбинации.

Пусть у нас есть 3 целых числа: \(a\), \(b\) и \(c\). Рассмотрим 2 случая:

Случай 1: Все три числа являются чётными или все три числа являются нечётными. В этом случае существует пара чисел, сумма которых также будет чётной или нечётной соответственно.

Случай 2: Все три числа не являются одинаковыми по чётности. В этом случае есть два числа одной чётности и одно число другой чётности. Мы можем найти пару чисел, сумма которых будет нечётной. Например, если \(a\) и \(b\) чётные, а \(c\) нечётное, то \(a+b\) будет нечётным.

Таким образом, в любом случае мы всегда сможем выбрать два числа, сумма которых делится на 2.