1.12. Предположим, что точка движется в плоскости XY согласно следующему закону: x = −2t; y = 4t(1−t). Необходимо найти

Yascherica

12

Хорошо, давайте решим данную задачу.

Для начала, нам даны уравнения движения точки в плоскости XY:
\[x = -2t\]
\[y = 4t(1-t)\]

Мы должны найти уравнение траектории \(y = f(x)\) и визуализировать его графически.

Для этого заменим \(t\) в уравнении \(y\) с помощью уравнения \(x\), чтобы получить уравнение траектории:
\[y = 4x(1 + \frac{x}{2})\]

Теперь давайте визуализируем его графически. Вот график уравнения траектории:


Теперь давайте найдем вектор скорости \(v\) и вектор ускорения \(a\) в зависимости от времени.

Вектор скорости \(v\) можно найти, взяв производные уравнений \(x\) и \(y\) по времени \(t\):
\[v_x = \frac{dx}{dt} = -2\]
\[v_y = \frac{dy}{dt} = 4(1-2t)\]

Таким образом, вектор скорости \(v\) равен:
\[v = \begin{pmatrix} -2 \\ 4(1-2t) \end{pmatrix}\]

Аналогично, вектор ускорения \(a\) можно найти, взяв производные скорости \(v_x\) и \(v_y\) по времени \(t\):
\[a_x = \frac{dv_x}{dt} = 0\]
\[a_y = \frac{dv_y}{dt} = -8\]

Таким образом, вектор ускорения \(a\) равен:
\[a = \begin{pmatrix} 0 \\ -8 \end{pmatrix}\]

И, наконец, мы должны найти момент времени \(t_0\), при котором вектор ускорения \(a\) образует угол \(\frac{\pi}{4}\) с вектором скорости \(v\).

Для этого используем соотношение между скалярным произведением векторов и косинусом угла между ними:

\[a \cdot v = |a| \cdot |v| \cdot \cos(\theta)\]

Подставляем значения векторов \(a\) и \( v\):

\[0 \cdot (-2) + (-8) \cdot (4(1-2t)) = |-8| \cdot \sqrt{(-2)^2 + (4(1-2t))^2} \cdot \cos(\frac{\pi}{4})\]

Упрощая выражение, получаем:

\[32(1-2t) = 8 \cdot \sqrt{1 + (1-2t)^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Дальше решаем уравнение относительно \(t\) и получаем \(t_0 = 0.75\) секунды.

Итак, ответ на задачу:

Уравнение траектории: \(y = 2x^2 - 2\)

Вектор скорости: \(v = -2i + 4(1-2t)j\)

Вектор ускорения: \(a = -8j\)

Момент времени: \(t_0 = 0.75\) секунды.