1.2.2.3. Найти значение координаты х точки в момент времени t = lc, если при to = 0 координата х определяется проекцией

Маргарита

48

Для решения данной задачи нам дано выражение для проекции вектора скорости точки на ось x:

\[v_x = 2 \cos(\pi t).\]

Мы должны найти значение координаты x в момент времени \(t = l \cdot c\), где \(l\) - константа.

Чтобы найти координату x, мы можем использовать определение скорости, которая является производной координаты по времени:

\[v = \frac{{dx}}{{dt}}.\]

Применяя это определение к данной задаче, мы получаем:

\[\frac{{dx}}{{dt}} = 2 \cos(\pi t).\]

Для того чтобы найти координату x, мы должны проинтегрировать выражение по времени и добавить постоянную интегрирования:

\[\int dx = \int 2 \cos (\pi t) dt.\]

Интегрируя, получаем:

\[x = 2 \int \cos (\pi t) dt.\]

Выражение \(\int \cos (\pi t) dt\) можно рассчитать следующим образом:

\[\int \cos (\pi t) dt = \frac{1}{\pi} \sin(\pi t) + C.\]

Где \(C\) - постоянная интегрирования.

Теперь мы можем записать окончательное выражение для координаты \(x\):

\[x = \frac{2}{\pi} \sin(\pi t) + C.\]

Однако, теперь нам нужно найти значение постоянной интегрирования \(C\). Мы можем это сделать, используя начальное условие \(x_0 = x(t = 0)\). При \(t = 0\) координата \(x\) определена равной проекции вектора скорости, поэтому:

\[x_0 = \frac{2}{\pi} \sin(\pi \cdot 0) + C = \frac{2}{\pi} \cdot 0 + C = C.\]

Таким образом, значения координаты \(x\) в момент времени \(t = l \cdot c\) можно записать следующим образом:

\[x = \frac{2}{\pi} \sin(\pi t) + x_0.\]

Это и есть окончательный ответ на задачу.