1.2.2.3. Найти значение координаты х точки в момент времени t = lc, если при to = 0 координата х определяется проекцией

Маргарита

48

Для решения данной задачи нам дано выражение для проекции вектора скорости точки на ось x:

$$v_x=2\cos (\pi t).$$

Мы должны найти значение координаты x в момент времени $t=l\cdot c$, где $l$ - константа.

Чтобы найти координату x, мы можем использовать определение скорости, которая является производной координаты по времени:

$$v=\frac{dx}{dt}.$$

Применяя это определение к данной задаче, мы получаем:

$$\frac{dx}{dt}=2\cos (\pi t).$$

Для того чтобы найти координату x, мы должны проинтегрировать выражение по времени и добавить постоянную интегрирования:

$$\int dx=\int 2\cos (\pi t)dt.$$

Интегрируя, получаем:

$$x=2\int \cos (\pi t)dt.$$

Выражение $\int \cos (\pi t)dt$ можно рассчитать следующим образом:

$$\int \cos (\pi t)dt=\frac{1}{\pi }\sin (\pi t)+C.$$

Где $C$ - постоянная интегрирования.

Теперь мы можем записать окончательное выражение для координаты $x$:

$$x=\frac{2}{\pi }\sin (\pi t)+C.$$

Однако, теперь нам нужно найти значение постоянной интегрирования $C$. Мы можем это сделать, используя начальное условие $x_0=x(t=0)$. При $t=0$ координата $x$ определена равной проекции вектора скорости, поэтому:

$$x_0=\frac{2}{\pi }\sin (\pi \cdot 0)+C=\frac{2}{\pi }\cdot 0+C=C.$$

Таким образом, значения координаты $x$ в момент времени $t=l\cdot c$ можно записать следующим образом:

$$x=\frac{2}{\pi }\sin (\pi t)+x_0.$$

Это и есть окончательный ответ на задачу.