11. На иллюстрации 19.8 изображены две окружности, имеющие центры в точках оо, и радиусы 10 и 4 соответственно

Magicheskiy_Kristall

5

На изображении видно, что точка А является точкой касания двух окружностей внешним образом. Это значит, что отрезок, соединяющий центр одной окружности (О1) с точкой касания (А) и отрезок, соединяющий центр другой окружности (О2) с точкой касания (А), будут перпендикулярны. Таким образом, мы можем провести прямую через точку А, перпендикулярную линии, соединяющей центры O1 и O2. Пусть эта прямая пересекает окружность O2 в точке С.

Также по условию задачи известно, что АВ = 6, радиус окружности O1 равен 10, а радиус окружности O2 равен 4.

Мы можем приступить к решению задачи:

1. Найдем расстояние между центрами O1 и O2:
Расстояние между двумя точками можно найти по формуле расстояния между двумя точками: \(d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\), где (x1, y1) - координаты центра O1, a (x2, y2) - координаты центра O2.
Предположим, что центр окружности O1 находится в точке (0, 0), тогда координаты центра O2 будут (10, 0).
Подставим значения в формулу: \(d = \sqrt{{(10 - 0)^2 + (0 - 0)^2}} = \sqrt{{100 + 0}} = \sqrt{{100}} = 10\).
Расстояние между центрами O1 и O2 равно 10.

2. Так как АВ = 6, а радиус окружности O1 равен 10, то треугольник АО1В является прямоугольным треугольником. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины отрезка О1В:
\(О1В^2 = АВ^2 + АО1^2\)
\(О1В^2 = 6^2 + 10^2\)
\(О1В^2 = 36 + 100\)
\(О1В^2 = 136\)
\(О1В = \sqrt{{136}}\)
\(О1В = 2\sqrt{{34}}\)

3. Поскольку точка С лежит на прямой, проходящей через А и перпендикулярной линии, соединяющей центры O1 и O2, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины отрезка СА:
\(СА^2 = О1А^2 + О1С^2\)
\(СА^2 = 4^2 + (2\sqrt{{34}})^2\)
\(СА^2 = 16 + 4 \cdot 34\)
\(СА^2 = 16 + 136\)
\(СА^2 = 152\)
\(СА = \sqrt{{152}}\)
\(СА = 2\sqrt{{38}}\)

Таким образом, получаем ответ: длина отрезка СА равняется \(2\sqrt{{38}}\).