1. а) Какие из векторов da, ad, cd, dc равны вектору ав? б) Какие из векторов ao, bd, do, bd имеют одинаковое

Малышка

59

1. а) Для того чтобы определить, какие из векторов \(da\), \(ad\), \(cd\), \(dc\) равны вектору \(ав\), нужно сравнить их начальную и конечную точки с начальной и конечной точкой вектора \(ав\).

Вектор \(da\) имеет начальную точку \(d\) и конечную точку \(а\). Вектор \(ad\) имеет начальную точку \(a\) и конечную точку \(d\). Вектор \(cd\) имеет начальную точку \(c\) и конечную точку \(d\). Вектор \(dc\) имеет начальную точку \(d\) и конечную точку \(c\).

Из сравнения точек видно, что только векторы \(da\) и \(dc\) равны вектору \(ав\), так как они имеют одинаковые начальные и конечные точки.

б) Чтобы определить, какие из векторов \(ao\), \(bd\), \(do\), \(bd\) имеют одинаковое направление с вектором \(во\), нужно учитывать, что векторы, имеющие одинаковое направление, могут отличаться только по длине и направлению обратно.

Так как в задаче нет указания на определенные направления, можно сделать предположение, что вектор \(во\) направлен вправо. В таком случае можно сказать, что вектор \(ao\) имеет одинаковое направление с вектором \(во\), так как они оба направлены вправо. Векторы \(bd\), \(do\), \(bd\) не имеют одинакового направления с вектором \(во\), так как они направлены в другую сторону.

2. Давайте нарисуем два произвольных вектора \(вс\) и \(bd\):

\[
\overrightarrow{вс} = \overrightarrow{AB}
\]
\[
\overrightarrow{bd} = \overrightarrow{CD}
\]

Построим вектор, который является суммой векторов \(2 \cdot \overrightarrow{вс}\) и \(\overrightarrow{bd}\):

\[
\overrightarrow{AP} = 2 \cdot \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}
\]

3. Пусть \(AB\) и \(CD\) - основания трапеции, где \(AB\) больше \(CD\) на 3 см. Пусть \(MN\) - средняя линия трапеции, равная 9 см.

Так как средняя линия трапеции является средней линией треугольника \(ACD\), то она делит основание \(AB\) на две равные части. Таким образом, получаем следующее:

\(AM = MN = \frac{9}{2} = 4.5\) см
\(MB = AM - MN = 4.5 - 3 = 1.5\) см

Таким образом, длина большего основания \(AB\) равна \(2 \cdot AM = 2 \cdot 4.5 = 9\) см, а длина меньшего основания \(CD\) равна \(2 \cdot MB = 2 \cdot 1.5 = 3\) см.

4. Чтобы доказать, что середины сторон прямоугольника являются вершинами параллелограмма, воспользуемся свойствами векторов.

Пусть \(ABCD\) - прямоугольник, а \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) - середины его сторон.

Так как \(M\) - середина стороны \(AB\), можно записать вектор \(MQ\) как сумму векторов \(MA\) и \(MB\):

\[
\overrightarrow{MQ} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}
\]

Аналогично, векторы \(\overrightarrow{NP}\), \(\overrightarrow{PM}\) и \(\overrightarrow{NQ}\) можно записать как суммы соответствующих векторов в виде:

\[
\overrightarrow{NP} = \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB}
\]
\[
\overrightarrow{PM} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB}
\]
\[
\overrightarrow{NQ} = \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB}
\]

Таким образом, видим, что векторы \(\overrightarrow{MQ}\) и \(\overrightarrow{NP}\) равны. Векторы \(\overrightarrow{PM}\) и \(\overrightarrow{NQ}\) также равны.

Исходя из этого, можно сделать вывод, что середины сторон прямоугольника \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) являются вершинами параллелограмма.