1. Какие координаты имеет центр окружности, если A(2; –1; 0) и B(–2; 3; 2) являются концами диаметра? Какой радиус

Zimniy_Son

25

Хорошо! Давайте посмотрим на каждую задачу по очереди.

1. Чтобы найти центр окружности, используем формулу середины отрезка. Сначала найдем середину диаметра, соединяющего точки A и B. Для этого сложим координаты точек A и B и разделим их на 2:
\[\text{середина диаметра} = \left(\frac{2 + (-2)}{2}, \frac{(-1) + 3}{2}, \frac{0 + 2}{2}\right) = (0, 1, 1).\]
Таким образом, центр окружности имеет координаты (0, 1, 1).

Чтобы найти радиус окружности, нужно найти расстояние между центром окружности и одним из концов диаметра (например, A или B). Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками:
\[\text{расстояние} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]
Подставим координаты центра окружности (0, 1, 1) и координаты точки A(2, -1, 0):
\[\text{расстояние} = \sqrt{(2 - 0)^2 + ((-1) - 1)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3.\]
Таким образом, радиус окружности равен 3.

2. Чтобы найти длину вектора АС – СВ, нужно вычислить разность векторов AC и BV и затем найти длину получившегося вектора. Для вычисления разности векторов вычитаем соответствующие координаты:
\[\text{AC - BV} = (0 - 1, 4 - 3, (-1) - 0) = (-1, 1, -1).\]
Теперь найдём длину вектора AC - BV, используя формулу длины вектора:
\[\text{длина} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}.\]
Таким образом, длина вектора AC - BV равна \(\sqrt{3}\).

3. Чтобы найти угол между векторами АВ и СД, воспользуемся формулой скалярного произведения векторов:
\[\cos(\theta) = \frac{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{CD}}{\|\mathbf{AB}\| \|\mathbf{CD}\|},\]
где \(\theta\) - искомый угол, \(\mathbf{AB}\) - вектор АВ, \(\mathbf{CD}\) - вектор СД, \(\|\mathbf{AB}\|\) и \(\|\mathbf{CD}\|\) - их длины.

Первым делом найдем векторы АВ и СД, вычтя соответствующие координаты:
\[\mathbf{AB} = (6-5, -8-(-8), -2-(-1)) = (1, 0, -1),\]
\[\mathbf{CD} = (7-7, -7-(-5), -9-(-11)) = (0, -2, 2).\]

Теперь найдем их длины:
\[\|\mathbf{AB}\| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2},\]
\[\|\mathbf{CD}\| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8}.\]

Теперь можем использовать формулу скалярного произведения:
\[\cos(\theta) = \frac{(1)(0) + (0)(-2) + (-1)(2)}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}} = \frac{-2}{2 \sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}.\]

Искомый угол \(\theta\) находится по формуле:
\[\theta = \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).\]

4. Для начала определим радиус сферы, используя расстояние между центром и точкой на сфере. Это расстояние равно радиусу. Для нахождения радиуса используем формулу расстояния между двумя точками:
\[r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2},\]
где (x1, y1, z1) - координаты центра О(3, -2, 1), а (x2, y2, z2) - координаты точки M(1, 2, -3).

Подставляем в формулу значения:
\[r = \sqrt{(1 - 3)^2 + (2 - (-2))^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6.\]

Таким образом, радиус сферы равен 6, а уравнение задаётся следующим образом:
\[(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 36.\]

5. Чтобы определить, при каких значениях m угол между векторами а(4, 1, -2) и b(3, m, 2) будет \textbf{а)} острым, \textbf{б)} тупым, \textbf{в)} прямым, воспользуемся формулой скалярного произведения векторов:
\[\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|},\]
где \(\theta\) - искомый угол, \(\mathbf{a}\) - вектор а, \(\mathbf{b}\) - вектор b, \(\|\mathbf{a}\|\) и \(\|\mathbf{b}\|\) - их длины.

Для вычисления скалярного произведения и длин векторов, заметим что
\[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (4)(3) + (1)(m) + (-2)(2) = 12 + m - 4 = m + 8.\]
\[\|\mathbf{a}\| = \sqrt{4^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{21}.\]
\[\|\mathbf{b}\| = \sqrt{3^2 + m^2 + 2^2} = \sqrt{m^2 + 13}.\]

Теперь можем использовать формулу скалярного произведения:
\[\cos(\theta) = \frac{m + 8}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{m^2 + 13}}.\]

\textbf{а)} Угол острый, если \(\cos(\theta) > 0\).
Для этого необходимо, чтобы \(m + 8 > 0\), следовательно \(m > -8\).

\textbf{б)} Угол тупой, если \(\cos(\theta) < 0\).
Для этого необходимо, чтобы \(m + 8 < 0\), следовательно \(m < -8\).

\textbf{в)} Угол прямой, если \(\cos(\theta) = 0\).
Для этого необходимо, чтобы \(m + 8 = 0\), следовательно \(m = -8\).

Таким образом, при значениях \(m > -8\) угол будет острым, при \(m < -8\) - тупым и при \(m = -8\) - прямым.