Найдите значение образующей цилиндра, осевое сечение которого представлено на изображении (также объясните, почему

Skvoz_Vremya_I_Prostranstvo

36

Для нахождения значения образующей цилиндра, нам необходимо воспользоваться информацией о диаметре и высоте. Диаметр цилиндра равен 10 см, что означает, что радиус цилиндра будет равен половине диаметра, то есть \(r = \frac{10}{2} = 5\) см.

Следующий шаг - найти длину образующей. Образующая цилиндра - это отрезок, соединяющий вершину цилиндра с центром основания. Для нахождения длины образующей, нам понадобится радиус (5 см) и высота цилиндра (3 см).

Мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, где гипотенуза - это образующая цилиндра, а катеты - радиус и высота цилиндра. Воспользовавшись теоремой Пифагора, мы можем вычислить длину образующей \(l\):

\[l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34} \approx 5.83\] см.

Теперь давайте перейдем к рассмотрению площади полной поверхности цилиндра.

Площадь полной поверхности цилиндра состоит из трех частей: двух оснований и боковой поверхности. Площадь боковой поверхности представлена разверткой прямоугольника \(abcd\).

Для нахождения площади боковой поверхности цилиндра, необходимо найти периметр прямоугольника \(abcd\) и умножить его на высоту цилиндра:

\[\text{площадь боковой поверхности} = (\text{периметр } abcd) \times (\text{высота цилиндра})\]

Поскольку одна из сторон прямоугольника \(abcd\) равна 10 см, давайте найдем остальные стороны.

Угол \(lbd\) равен 30° и дуга \(bd\) является частью окружности, поэтому длина дуги \(bd\) равна длине окружности с радиусом 5 см, умноженной на отношение угла \(lbd\) к 360°. Таким образом, длина дуги \(bd\) равна:

\[l_{bd} = \frac{30}{360} \times 2\pi \times 5 = \frac{1}{6} \times 2\pi \times 5 = \frac{5}{3}\pi\] см.

Так как \(bd\) равна 10 см, сторона \(ab\) прямоугольника равна \(10 - l_{bd} = 10 - \frac{5}{3}\pi\) см.

Периметр прямоугольника \(abcd\) можно найти как сумму всех его сторон:

\[\text{периметр } abcd = 2(ab + bc) = 2\left((10 - \frac{5}{3}\pi) + 10\right) = (20 - \frac{10}{3}\pi) + 20 = 40 - \frac{10}{3}\pi\] см.

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности, умножив периметр на высоту цилиндра:

\[\text{площадь боковой поверхности} = (40 - \frac{10}{3}\pi) \times 3 = 120 - 10\pi\] см².

Площадь одного основания цилиндра - это площадь круга с радиусом 5 см:

\[\text{площадь одного основания} = \pi \times r^2 = \pi \times 5^2 = 25\pi\] см².

Так как у нас два основания, общая площадь оснований будет равна удвоенной площади одного основания:

\[\text{площадь оснований} = 2 \times 25\pi = 50\pi\] см².

Наконец, площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади оснований и боковой поверхности:

\[\text{площадь полной поверхности} = \text{площадь оснований} + \text{площадь боковой поверхности} = 50\pi + (120 - 10\pi) = 120 + 40\pi\] см².

Таким образом, значение образующей цилиндра составляет примерно 5.83 см, а площадь полной поверхности цилиндра равна \(120 + 40\pi\) см².