1. Are the probabilities of the events getting heads twice and getting heads on one flip and tails on the other
1. Are the probabilities of the events "getting heads twice" and "getting heads on one flip and tails on the other" the same?
2. When two dice are thrown - a yellow one and a green one, find the probability of the following events: a) "the sum of the scores on both dice is 7"; b) "the sum of the scores on both dice is greater than 8, and the green die shows more than two points"; c) "the yellow die shows more points than the green one";
3. A fair die is rolled twice. It is known that the product of the scores is even. Find the probability of the following events: a) "getting a score of 5 on one of the rolls"; b) "the sum of the scores on both rolls is less than or equal to 7".
2. When two dice are thrown - a yellow one and a green one, find the probability of the following events: a) "the sum of the scores on both dice is 7"; b) "the sum of the scores on both dice is greater than 8, and the green die shows more than two points"; c) "the yellow die shows more points than the green one";
3. A fair die is rolled twice. It is known that the product of the scores is even. Find the probability of the following events: a) "getting a score of 5 on one of the rolls"; b) "the sum of the scores on both rolls is less than or equal to 7".
Artemovich 64
1. Вероятность события "выпадение орла дважды" и события "выпадение орла на одном броске и решки на другом" одинаковая или разная?Для определения вероятности событий, сначала рассмотрим вероятность получить орла дважды. Пусть событие A - "выпадение орла на первом броске" и событие B - "выпадение орла на втором броске". По определению вероятности, вероятность получить орла на каждом броске равна 1/2. Так как броски монеты независимы друг от друга, вероятность выпадения орла дважды равна произведению вероятностей событий A и B:
\[P(\text{{выпадение орла дважды}}) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\]
Теперь рассмотрим вероятность события "выпадение орла на одном броске и решки на другом". Пусть событие C - "выпадение орла на первом броске и решки на втором". По определению вероятности, вероятность получить орла на первом броске равна 1/2, а вероятность получить решку на втором броске также равна 1/2. Поэтому вероятность события C равна произведению вероятностей событий A и B:
\[P(\text{{выпадение орла на одном броске и решки на другом}}) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\]
Таким образом, вероятности событий "выпадение орла дважды" и "выпадение орла на одном броске и решки на другом" одинаковые и равны 1/4.
2. При броске двух кубиков - желтого и зеленого, найдите вероятность следующих событий:
a) "сумма очков на обоих кубиках равна 7";
b) "сумма очков на обоих кубиках больше 8, а на зеленом кубике выпало больше двух очков";
c) "на желтом кубике выпало больше очков, чем на зеленом"
a) Для определения вероятности события "сумма очков на обоих кубиках равна 7" рассмотрим все возможные комбинации результатов броска двух кубиков, которые дают сумму 7:
(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)
Всего возможно 36 различных результатов броска двух кубиков. Таким образом, вероятность события A равна:
\[P(A) = \frac{\text{{количество благоприятных исходов}}}{\text{{общее количество исходов}}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\]
b) Для определения вероятности события "сумма очков на обоих кубиках больше 8, а на зеленом кубике выпало больше двух очков" рассмотрим все возможные комбинации результатов броска двух кубиков, которые дают сумму больше 8 и на зеленом кубике выпало больше двух очков:
(3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)
Всего возможно 36 различных результатов броска двух кубиков. Таким образом, вероятность события B равна:
\[P(B) = \frac{\text{{количество благоприятных исходов}}}{\text{{общее количество исходов}}} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}\]
c) Для определения вероятности события "на желтом кубике выпало больше очков, чем на зеленом" рассмотрим все возможные комбинации результатов броска двух кубиков, где на желтом кубике выпало больше очков, чем на зеленом:
(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (6, 1),
(6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)
Всего возможно 36 различных результатов броска двух кубиков. Таким образом, вероятность события C равна:
\[P(C) = \frac{\text{{количество благоприятных исходов}}}{\text{{общее количество исходов}}} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}\]
3. Бросается справедливый кубик дважды. Известно, что произведение выпавших очков четное. Найдите вероятность следующих событий:
a) "получение суммы очков равной 12";
b) "получение суммы очков большей 9";
c) "значение на первом броске больше значения на втором броске"
a) Для определения вероятности получения суммы очков равной 12, рассмотрим все возможные комбинации результатов броска двух кубиков, где произведение очков четное:
(6, 2), (6, 4), (6, 6)
Всего возможно 36 различных результатов броска двух кубиков. Таким образом, вероятность события A равна:
\[P(A) = \frac{\text{{количество благоприятных исходов}}}{\text{{общее количество исходов}}} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\]
b) Для определения вероятности получения суммы очков большей 9, рассмотрим все возможные комбинации результатов броска двух кубиков, где произведение очков четное:
(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)
Всего возможно 36 различных результатов броска двух кубиков. Таким образом, вероятность события B равна:
\[P(B) = \frac{\text{{количество благоприятных исходов}}}{\text{{общее количество исходов}}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\]
c) Для определения вероятности получения значения на первом броске больше значения на втором броске, рассмотрим все возможные комбинации результатов броска двух кубиков, где произведение очков четное:
(2, 1), (3, 1), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)
Всего возможно 36 различных результатов броска двух кубиков. Таким образом, вероятность события C равна:
\[P(C) = \frac{\text{{количество благоприятных исходов}}}{\text{{общее количество исходов}}} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18}\]