1. Чему равна вероятность выбора слова река при вынимании четырех букв из пакета, где каждая буква заранее разложена

Ластик

7

1. Чтобы решить эту задачу, нам необходимо знать, сколько всего слов можно составить, выбирая четыре буквы из данного пакета. Для этого воспользуемся формулой сочетаний. Формула сочетаний имеет вид:

\[C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!},\]

где \(C_n^k\) обозначает количество способов выбрать \(k\) элементов из \(n\), \(n!\) представляет собой факториал числа \(n\), а \(!\) обозначает операцию факториала.

В данной задаче у нас есть 4 буквы в пакете, поэтому \(n = 4\). Мы также знаем, что одно из слов, которое можно составить, это слово "река". Таким образом, нам необходимо узнать количество способов выбрать 4 буквы из 4, не включая слово "река". Представим это как выбор 4 букв из 4-1 = 3.

Используя формулу сочетаний, можем записать:

\[C_4^3 = \binom{4}{3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4}{1} = 4.\]

Таким образом, существует 4 способа выбрать 4 буквы, не включая слово "река".

Теперь мы можем найти вероятность выбора слова "река" при вынимании четырех букв. Вероятность можно определить как отношение количества благоприятных исходов (то есть количество способов выбрать слово "река") к общему количеству исходов (то есть общему количеству способов выбрать 4 буквы).

Таким образом, вероятность выбора слова "река" будет:

\[P(\text{"река"}) = \frac{\text{количество способов выбрать слово "река"}}{\text{общее количество способов выбрать 4 буквы}} = \frac{1}{4} = \frac{1}{4}.\]

Таким образом, вероятность выбора слова "река" при вынимании четырех букв будет равна \(\frac{1}{4}\).

2. Для решения этой задачи мы должны рассчитать количество способов выбрать 5 номеров из 36 и узнать количество способов выбрать 3 выигрышных номера и 2 невыигрышных номера из этого набора.

Используя формулу сочетаний, мы можем рассчитать количество способов выбрать 5 номеров из 36:

\[C_{36}^5 = \binom{36}{5} = \frac{36!}{5!(36-5)!} = \frac{36!}{5!31!}.\]

Теперь нам нужно рассчитать количество способов выбрать 3 выигрышных номера из 5 выигрышных номеров:

\[C_5^3 = \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!}.\]

Аналогично, рассчитаем количество способов выбрать 2 невыигрышных номера из 31 невыигрышного номера:

\[C_{31}^2 = \binom{31}{2} = \frac{31!}{2!(31-2)!} = \frac{31!}{2!29!}.\]

Таким образом, вероятность выбрать 3 выигрышных номера и 2 невыигрышных номера будет:

\[P(\text{3 выигрышных, 2 невыигрышных}) = \frac{\text{количество способов выбрать 3 выигрышных номера}}{\text{общее количество способов выбрать 5 номеров}} \times \frac{\text{количество способов выбрать 2 невыигрышных номера}}{\text{общее количество способов выбрать 5 номеров}} = \frac{C_5^3 \times C_{31}^2}{C_{36}^5}.\]

Подставим значения:

\[P(\text{3 выигрышных, 2 невыигрышных}) = \frac{\frac{5!}{3!2!} \times \frac{31!}{2!29!}}{\frac{36!}{5!31!}}.\]

Выполним вычисления:

\[P(\text{3 выигрышных, 2 невыигрышных}) = \frac{10 \times 465}{7,117,900}.\]

Упростим дробь:

\[P(\text{3 выигрышных, 2 невыигрышных}) = \frac{4650}{7,117,900}.\]

Таким образом, вероятность того, что среди зачеркнутых номеров будет 3 выигрышных, равна \(\frac{4650}{7,117,900}\).

3. Для решения этой задачи мы должны рассчитать количество способов выбрать 5 номеров из 36 и узнать количество способов выбрать 4 выигрышных номера и 1 невыигрышный номер из этого набора.
Используя формулу сочетаний, мы можем рассчитать количество способов выбрать 4 выигрышных номера из 5 выигрышных номеров:
\[C_5^4 = \binom{5}{4} = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!}.\]
Аналогично, рассчитаем количество способов выбрать 1 невыигрышный номер из 31 невыигрышного номера:
\[C_{31}^1 = \binom{31}{1} = \frac{31!}{1!(31-1)!} = \frac{31!}{1!30!}.\]
Таким образом, вероятность выбрать 4 выигрышных номера и 1 невыигрышный номер будет:
\[P(\text{4 выигрышных, 1 невыигрышный}) = \frac{\text{количество способов выбрать 4 выигрышных номера}}{\text{общее количество способов выбрать 5 номеров}} \times \frac{\text{количество способов выбрать 1 невыигрышный номер}}{\text{общее количество способов выбрать 5 номеров}} = \frac{C_5^4 \times C_{31}^1}{C_{36}^5}.\]
Подставим значения:
\[P(\text{4 выигрышных, 1 невыигрышный}) = \frac{\frac{5!}{4!1!} \times \frac{31!}{1!30!}}{\frac{36!}{5!31!}}.\]
Выполним вычисления:
\[P(\text{4 выигрышных, 1 невыигрышный}) = \frac{5 \times 31}{7,117,900}.\]
Упростим дробь:
\[P(\text{4 выигрышных, 1 невыигрышный}) = \frac{155}{7,117,900}.\]
Таким образом, вероятность того, чтобы среди зачеркнутых номеров было 4 выигрышных, равна \(\frac{155}{7,117,900}\).
4. В данной задаче мы должны рассчитать вероятность того, что среди зачеркнутых номеров будет 5 выигрышных номеров. У нас есть только 5 выигрышных номеров, и нам нужно выбрать все 5 из них из возможных 36 номеров. Таким образом, вероятность выбрать 5 выигрышных номеров будет:
\[P(\text{5 выигрышных}) = \frac{1}{C_{36}^5} = \frac{1}{\binom{36}{5}} = \frac{1}{\frac{36!}{5!(36-5)!}}.\]
Подставим значения:
\[P(\text{5 выигрышных}) = \frac{1}{\frac{36!}{5!31!}}.\]
Выполним вычисления:
\[P(\text{5 выигрышных}) = \frac{5!31!}{36!}.\]
Упростим дробь:
\[P(\text{5 выигрышных}) = \frac{1}{770,995} = \frac{1}{770,995}.\]
Таким образом, вероятность того, что среди зачеркнутых номеров будет 5 выигрышных, равна \(\frac{1}{770,995}\).