1. Через какое время после помещения бактерий в питательную среду ожидается, что их число достигнет 500, если

Маркиз

48

1. Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать пропорцию. Давайте обозначим время, через которое число бактерий достигнет 500, как \(t\) часов.

Изначально было 6 бактерий, через 2 часа их число возросло до 80. То есть, за 2 часа количество бактерий увеличилось в \(\frac{80}{6} = \frac{40}{3}\) раза.

Теперь, чтобы найти время, через которое количество бактерий станет 500, мы можем построить пропорцию: \(\frac{40}{3} = \frac{500}{6}\).

Перекрестно умножаем и получаем уравнение: \(40 \cdot 6 = 3 \cdot 500\).

Решаем это уравнение: \(240 = 1500\).

Теперь делим обе части уравнения на 1500 и получаем: \(\frac{240}{1500} = \frac{t}{1}\).

Выполняем деление и получаем около 0.16 расстояния до первой значащей цифры в ответе.

Таким образом, через примерно 0.16 часа (или примерно 9.6 минут) число бактерий достигнет 500.

2. Для решения этой задачи нам нужно использовать формулу для сложных процентов.

Формула для сложных процентов: \(A = P \cdot (1 + \frac{r}{n})^{n \cdot t}\), где:
- \(A\) - итоговая сумма (в данном случае 2 раза начальная сумма)
- \(P\) - начальная сумма вклада (10 000 рублей)
- \(r\) - процентная ставка (8%)
- \(n\) - количество начислений процентов в год (1, так как в задаче ничего не сказано об иных начислениях)
- \(t\) - количество лет

Мы хотим узнать, сколько лет потребуется, чтобы вклад удвоился, то есть \(A = 2 \cdot P = 2 \cdot 10 000\).

Подставляем значения в формулу: \(2 \cdot 10 000 = 10 000 \cdot (1 + \frac{0.08}{1})^{1 \cdot t}\).

Упрощаем выражение: \(2 = (1 + 0.08)^t\).

Выполняем возведение в степень: \(2 = 1.08^t\).

Теперь используем логарифмы, чтобы найти значение \(t\): \(t = \log_{1.08} 2\).

Вычисляем значение логарифма: \(t \approx \frac{\log 2}{\log 1.08}\).

Подставляем это значение в калькулятор и получаем примерно 9.01.

Таким образом, вклад удвоится примерно через 9.01 лет.

3. Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для экспоненциального роста и распада.

Формула для экспоненциального распада: \(N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}\), где:
- \(N(t)\) - количество ядер в момент времени \(t\)
- \(N_0\) - исходное количество ядер
- \(t\) - время, прошедшее с начала распада
- \(T\) - период полураспада

В данной задаче говорится, что количество ядер уменьшается в 8 раз за 6 секунд. То есть, \(N(t) = \frac{N_0}{8}\) при \(t = 6\).

Подставляем значения в формулу: \(\frac{N_0}{8} = N_0 \cdot 2^{-\frac{6}{T}}\).

Упрощаем выражение: \(\frac{1}{8} = 2^{-\frac{6}{T}}\).

Применяем логарифмы: \(\log_2 \frac{1}{8} = -\frac{6}{T}\).

Выполняем логарифмирование: \(\log_2 \frac{1}{8} = \log_2 2^{-\frac{6}{T}}\).

Применяем свойство логарифма: \(-3 = -\frac{6}{T}\).

Теперь решаем уравнение: \(\frac{6}{T} = 3\).

Делим обе части уравнения на 3: \(\frac{6}{3} = T\).

Выполняем деление и получаем: \(T = 2\).

Таким образом, период полураспада одного из изотопов франция составляет 2 секунды.