1) Докажите, что медиана треугольника равна половине стороны, выходящей из той же вершины и образующей углы 40

Папоротник

14

1) Чтобы доказать, что медиана треугольника равна половине стороны, выходящей из той же вершины и образующей углы 40 и 70 градусов, рассмотрим треугольник ABC, где AB, BC и AC - его стороны, а M - точка пересечения медиан.

Первым шагом обратимся к определению медианы треугольника. Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В данном случае, медианы треугольника соединяют вершины A, B и C с серединами сторон BC, AC и AB соответственно.

Для доказательства, давайте рассмотрим медиану AM, и пусть точка D - середина стороны BC. Тогда BD = DC, так как D является серединой стороны BC.

Также, давайте обратимся к углу B. Определено, что MD является медианой, следовательно, угол AMD равен углу ABC, то есть 70 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник BDC. Опять же, BD = DC, и угол BDC равен углу BAC, то есть 40 градусов.

Таким образом, у нас есть два треугольника: AMD и BDC, где соответствующие стороны равны: MD = DB = DC и углы AMD и BDC равны 70 и 40 градусам соответственно.

Теперь давайте рассмотрим треугольник AMD. У нас есть две равные стороны: MD и AD, так как MD является медианой, и два равных угла: AMD и MAD, так как MD и AD - это равные стороны медианы.

Из равенства сторон и углов следует, что треугольник AMD равнобедренный. Следовательно, угол MAD равен половине угла AMD, и он равен 35 градусам.

Таким образом, мы доказали, что в треугольнике AMD угол MAD равен 35 градусам.

Теперь обратимся к треугольнику ADC. У нас также есть две равные стороны: DC и AD (так как MD = AD по определению медианы) и два равных угла: ADC и ACD. Также мы знаем, что угол ACD равен 40 градусам.

Из равенства сторон и углов следует, что треугольник ADC равнобедренный. Следовательно, угол ACD равен половине угла ADC, и он равен 20 градусам.

Таким образом, мы доказали, что в треугольнике ADC угол ACD равен 20 градусам.

Итак, мы получили следующие результаты:
AMC: угол MAC = 35 градусов
ADC: угол ACD = 20 градусов

Теперь обратимся к треугольнику ABC. У нас есть три угла: ABC, BAC и BCA, и сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Известно, что угол BAC = 40 градусов, угол ABC = 70 градусов (по условию) и угол BCA = 180 - 40 - 70 = 70 градусов.

Таким образом, мы доказали, что в треугольнике ABC угол BCA равен 70 градусам.

Теперь сравним угол BCA в треугольнике ABC с углом ACD в треугольнике ADC. Мы видим, что эти углы равны.

Точно так же сравним угол ABC в треугольнике ABC с углом AMC в треугольнике AMC. Мы также видим, что эти углы равны.

Итак, мы доказали, что в треугольнике ABC углы BCA и ABC равны соответственно углам ACD и AMC в треугольниках ADC и AMC.

Исходя из теоремы о равных углах, мы заключаем, что соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.

В нашем случае сторона MC в треугольнике AMC является медианой треугольника ABC, а сторона CD в треугольнике ADC - это сторона, выходящая из той же вершины и образующая углы 40 и 70 градусов.

Таким образом, мы доказали, что медиана треугольника равна половине стороны, выходящей из той же вершины и образующей углы 40 и 70 градусов.

2) Чтобы доказать, что четырехугольник, разбитый диагоналями на четыре треугольника с равными периметрами, является параллелограммом, рассмотрим четырехугольник ABCD, где AC и BD - диагонали, а P1, P2, P3 и P4 - периметры треугольников ABD, BCD, CAD и ABC соответственно.

Для начала обратим внимание, что каждая диагональ четырехугольника соединяет противоположные вершины и разбивает четырехугольник на два треугольника. В данном случае, диагонали AC и BD разбивают четырехугольник ABCD на треугольники ABC и ABD, а также на треугольники ACD и BCD.

Теперь рассмотрим периметры треугольников. Пусть P1 = P3 и P2 = P4, то есть периметры треугольников ABD и CAD равны, а также периметры треугольников BCD и ABC равны.

Давайте сравним треугольники ABD и CBD. У них есть общая сторона AB и равные периметры. По определению, периметр треугольника - это сумма длин его сторон.

Так как AB - общая сторона этих треугольников и их периметры равны, мы можем заключить, что сумма сторон треугольников ABD и BCD также равна. Обозначим сумму сторон треугольника ABD как P и сумму сторон треугольника BCD как Q.

Теперь рассмотрим треугольники ACD и BAC. Они имеют общую сторону AC и равные периметры.

Аналогично предыдущему рассуждению, сумма сторон треугольников ACD и ABC также равна. Обозначим сумму сторон треугольника ACD как R и сумму сторон треугольника ABC как S.

Теперь сравним сумму сторон треугольников ABD и BCD (P) с суммой сторон треугольников ACD и ABC (R). Мы знаем, что P = Q и R = S.

Таким образом, получаем P = Q и R = S.

Из этих равенств следует, что P + R = Q + S.

Поскольку P + R равно сумме сторон всего четырехугольника ABCD, и Q + S равно сумме сторон всего четырехугольника ABCD, мы можем заключить, что сумма сторон всего четырехугольника ABCD одинакова.

Исходя из определения параллелограмма, параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны.

В нашем случае, мы показали, что периметры треугольников ABD и CAD равны, а также периметры треугольников BCD и ABC равны. Это означает, что противоположные стороны четырехугольника ABCD параллельны и имеют равные длины.

Таким образом, мы можем заключить, что четырехугольник, разбитый диагоналями на четыре треугольника с равными периметрами, является параллелограммом.