1. Найдите высоту правильной четырехугольной пирамиды, если апофема равна 10 см, а сторона основания - 12

Lyubov

53

1. Для решения этой задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора и понятие апофемы.

Сначала найдем высоту треугольника, образованного половиной основания пирамиды и апофемой:

\[Высота \: треугольника^2 = Апофема^2 - (\frac{Сторона \: основания}{2})^2\]

\[Высота \: треугольника^2 = 10^2 - (\frac{12}{2})^2\]

\[Высота \: треугольника^2 = 100 - 36\]

\[Высота \: треугольника^2 = 64\]

\[Высота \: треугольника = \sqrt{64} = 8\]

Теперь, чтобы найти высоту пирамиды, мы удвоим высоту треугольника:

\[Высота \: пирамиды = 2 \cdot Высота \: треугольника = 2 \cdot 8 = 16 \: см\]

Ответ: Высота правильной четырехугольной пирамиды составляет 16 см.

2. Найдем высоту прямоугольного параллелепипеда, используя величину диагонали и угол, который она образует с плоскостью основания.

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать тригонометрические соотношения. При этом, понадобится знание тригонометрической функции синуса.

Высота параллелепипеда - это расстояние между двумя параллельными плоскостями основания, а диагональ является гипотенузой треугольника, образованного диагональю и высотой. По условию, диагональ равна 10 см и образует угол в 30 градусов с плоскостью основания.

Используя тригонометрическую функцию синуса, найдем высоту:

\[\sin(30^\circ) = \frac{Высота}{Диагональ}\]

\[Высота = \sin(30^\circ) \cdot Диагональ\]

\[Высота = \sin(30^\circ) \cdot 10\]

\[\sin(30^\circ) = 0.5\]

\[Высота = 0.5 \cdot 10\]

\[Высота = 5 \: см\]

Ответ: Высота прямоугольного параллелепипеда равна 5 см.

3. Чтобы найти площадь основания правильной четырехугольной пирамиды, нужно знать длину бокового ребра и значение плоского угла при вершине.

Площадь основания можно найти, используя формулу для площади равностороннего треугольника:

\[Площадь \: равностороннего \: треугольника = \frac{Сторона^2 \cdot \sqrt{3}}{4}\]

Так как у нас четырехугольная пирамида, состоящая из четырех равносторонних треугольников, найдем площадь одного треугольника и умножим на 4.

\[Площадь \: одного \: треугольника = \frac{5^2 \cdot \sqrt{3}}{4}\]

\[Площадь \: одного \: треугольника = \frac{25 \cdot \sqrt{3}}{4}\]

\[Площадь \: основания = 4 \cdot Площадь \: одного \: треугольника\]

\[Площадь \: основания = 4 \cdot \frac{25 \cdot \sqrt{3}}{4}\]

\[Площадь \: основания = 25 \cdot \sqrt{3}\]

Ответ: Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды равна \(25 \cdot \sqrt{3}\) (квадратных сантиметров).