1) Если AM = 6см, MB = 4см, AK = 4см и AC = 12см (см. рисунок 146), то какова площадь четырехугольника MBCK, если

Solnce_Nad_Okeanom

65

1) Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой площади треугольника, а затем разделить четырехугольник на два треугольника и сложить их площади.

Давайте начнем с построения рисунка и обозначений.

\[ABCM\]
\[|AM| = 6 \, \text{см}\]
\[|MB| = 4 \, \text{см}\]
\[|AK| = 4 \, \text{см}\]
\[|AC| = 12 \, \text{см}\]
\[S_{AMK} = 16 \, \text{см}^2\]

Сначала найдем площадь треугольника \(AMK\). Мы знаем, что площадь треугольника можно вычислить, умножив половину основания на высоту. Таким образом, мы можем записать:

\[S_{AMK} = \frac{1}{2} \cdot |AM| \cdot |MK|\]

Разрешим уравнение относительно \(|MK|\):

\[16\, \text{см}^2 = \frac{1}{2} \cdot 6\, \text{см} \cdot |MK|\]

Теперь найдем значение \(|MK|\):

\[|MK| = \frac{16\, \text{см}^2}{\frac{1}{2} \cdot 6\, \text{см}}\]
\[|MK| = \frac{16\, \text{см}^2}{3\, \text{см}}\]
\[|MK| = \frac{16}{3}\, \text{см}\]

Теперь, когда у нас есть значение \(|MK|\), мы можем найти высоту треугольника \(AMK\), проведенную к основанию \(AM\). Для этого мы можем воспользоваться теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике \(AMC\).

\[\begin{align*}
|AC|^2 &= |AM|^2 + |MC|^2 \\
12^2 &= 6^2 + |MC|^2 \\
144 &= 36 + |MC|^2 \\
|MC|^2 &= 144 - 36 \\
|MC|^2 &= 108 \\
|MC| &= \sqrt{108} \\
|MC| &= 6\sqrt{3}\, \text{см}
\end{align*}\]

Теперь, используя полученные значения, мы можем найти площадь треугольника \(ABC\) и затем площадь треугольника \(MCK\).

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |MB|\]
\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 12\, \text{см} \cdot 4\, \text{см}\]
\[S_{ABC} = 24\, \text{см}^2\]

\[S_{MCK} = \frac{1}{2} \cdot |MC| \cdot |MK|\]
\[S_{MCK} = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3}\, \text{см} \cdot \frac{16}{3}\, \text{см}\]
\[S_{MCK} = 32\sqrt{3}\, \text{см}^2\]

Теперь, чтобы найти площадь четырехугольника \(MBCK\), мы просто сложим площади треугольников \(ABC\) и \(MCK\):

\[S_{MBCK} = S_{ABC} + S_{MCK}\]
\[S_{MBCK} = 24\, \text{см}^2 + 32\sqrt{3}\, \text{см}^2\]
\[S_{MBCK} = 24\, \text{см}^2 + 32\sqrt{3}\, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь четырехугольника \(MBCK\) составляет \(24\, \text{см}^2 + 32\sqrt{3}\, \text{см}^2\).

2) Для решения этой задачи воспользуемся тем фактом, что площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

Пусть площадь параллелограмма \(ABCD\) равна \(Q\) и точка \(M\) находится на прямой \(BC\). Тогда площадь треугольника \(AMD\) равна половине площади параллелограмма \(ABCD\).

\[S_{AMD} = \frac{1}{2} \cdot Q\]

Таким образом, площадь треугольника \(AMD\) равна половине площади параллелограмма \(ABCD\), то есть \(\frac{Q}{2}\).