1) Если точки а (-3, 5, -7) и с (6, 2, -1) являются симметричными относительно точки с, то каковы координаты точки
1) Если точки а (-3, 5, -7) и с (6, 2, -1) являются симметричными относительно точки с, то каковы координаты точки b?
2) Если даны векторы а (3, -2, -1) и b (1, 2, 4), то найдите выражение m = -3a + 2b и вычислите косинус угла между векторами а.
2) Если даны векторы а (3, -2, -1) и b (1, 2, 4), то найдите выражение m = -3a + 2b и вычислите косинус угла между векторами а.
Ветка 10
Конечно! Давайте начнем с первой задачи. Мы знаем, что точки A и C являются симметричными относительно точки B. Для того чтобы найти координаты точки B, нам нужно использовать свойство симметрии.Симметричная точка B должна находиться на середине отрезка между точками A и C. Давайте найдем среднее значение каждой координаты точек A и C, чтобы найти координаты точки B.
Координата X точки B будет равна среднему значению координат X точек A и C:
\[X_b = \frac{X_a + X_c}{2}\]
Подставляя значения координат, получим:
\[X_b = \frac{(-3 + 6)}{2} = \frac{3}{2} = 1.5\]
Аналогичным образом, посчитаем координаты Y и Z для точки B:
\[Y_b = \frac{Y_a + Y_c}{2} = \frac{(5 + 2)}{2} = \frac{7}{2} = 3.5\]
\[Z_b = \frac{Z_a + Z_c}{2} = \frac{(-7 + -1)}{2} = \frac{-8}{2} = -4\]
Таким образом, координаты точки B будут равны (1.5, 3.5, -4).
Перейдем к второй задаче. Мы должны найти выражение для вектора M и вычислить косинус угла между векторами A и B.
Чтобы найти вектор M, умножим вектор A на -3 и вектор B на 2, а затем сложим результаты:
\[M = -3 \cdot A + 2 \cdot B\]
Подставляя значения векторов, получим:
\[M = -3 \cdot (3, -2, -1) + 2 \cdot (1, 2, 4)\]
\[M = (-9, 6, 3) + (2, 4, 8)\]
\[M = (-7, 10, 11)\]
Таким образом, выражение для вектора M равно (-7, 10, 11).
Для вычисления косинуса угла между векторами A и B, мы можем воспользоваться формулой:
\[cos(\theta) = \frac{{A \cdot B}}{{\|A\| \cdot \|B\|}}\]
Где \(\theta\) - угол между векторами A и B, \(\cdot\) - скалярное произведение векторов, \(\|A\|\) и \(\|B\|\) - длины векторов A и B соответственно.
Вычислим скалярное произведение векторов A и B:
\[A \cdot B = (3, -2, -1) \cdot (1, 2, 4)\]
\[A \cdot B = (3 \cdot 1) + (-2 \cdot 2) + (-1 \cdot 4)\]
\[A \cdot B = 3 - 4 - 4\]
\[A \cdot B = -5\]
Теперь посчитаем длины векторов A и B:
\(\|A\| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{14}\)
\(\|B\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{21}\)
Подставив значения в формулу, получим:
\[cos(\theta) = \frac{{-5}}{{\sqrt{14} \cdot \sqrt{21}}}\]
Давайте упростим это выражение:
\[cos(\theta) = \frac{{-5}}{{\sqrt{294}}}\]
Таким образом, косинус угла \(\theta\) между векторами A и B равен \(-\frac{5}{\sqrt{294}}\).