Каково значение плоского угла при вершине треугольной пирамиды, если ее апофема равна длине стороны основания?

Zvezdopad

55

Для решения данной задачи рассмотрим треугольную пирамиду. Предположим, что данная пирамида имеет вершину \(V\) и основание в форме треугольника \(ABC\). Пусть сторона треугольника \(ABC\) имеет длину \(a\), а апофема пирамиды, то есть расстояние от вершины до центра основания, также равна \(a\).

Обозначим центр основания пирамиды как \(O\). Также проведем отрезок \(OV\) — линию, соединяющую вершину пирамиды и центр основания. Так как апофема равна длине стороны основания, то получаем, что отрезок \(OV\) является высотой пирамиды и равен \(a\).

Теперь рассмотрим плоский угол, образованный линиями \(OV\) и \(OA\) где \(A\) - вершина пирамиды. Поскольку отрезок \(OV\) — высота пирамиды, который перпендикулярен плоскости основания, он также перпендикулярен сторонам треугольника \(ABC\). Следовательно, угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и центр основания, будет прямым углом.

Теперь рассмотрим треугольник \(OBA\), который образует прямой угол в точке \(B\), и пусть угол \(BOA\) равен \(x\). Тогда угол \(BOA\) будет половиной плоского угла, образованного линиями \(OV\) и \(OA\).

Так как треугольник \(OBA\) является прямоугольным, то мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины стороны \(OB\). Так как апофема равна длине стороны основания, то сторона \(OB\) будет равной \(\frac{a}{2}\).

Теперь, применяя математическую теорему, мы можем выразить тангенс угла \(x\) как отношение противолежащего и прилежащего катетов:

\[\tan(x) = \frac{{\frac{a}{2}}}{{a}} = \frac{1}{2}\]

Теперь найдем значение угла \(x\) с помощью обратной тангенсной функции:

\[x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right)\]

Подставляя значение в тригонометрическую функцию, получаем:

\[x \approx 26.57^\circ\]

Таким образом, значение плоского угла при вершине треугольной пирамиды, если ее апофема равна длине стороны основания, составляет примерно \(26.57^\circ\).