1. Фигураның ауданын мыналар бойынша табыңыз: y=x2, y=2-x 2. Фигураның ауданын мыналар бойынша табыңыз: y=x2+2x+4

Sergeevna

2

Давайте решим поставленные задачи.
1. Для нахождения площади фигуры, образованной графиками функций \(y = x^2\) и \(y = 2 - x\), необходимо найти точки их пересечения и провести вертикальные линии, ограничивающие фигуру.

Для нахождения точки пересечения \(x\), мы должны приравнять функции и решить полученное уравнение:
\[x^2 = 2 - x\]

Перепишем это уравнение, приведя его к квадратному виду:
\[x^2 + x - 2 = 0\]

Факторизуем это уравнение:
\[(x + 2)(x - 1) = 0\]

Теперь, найдя значения \(x\), мы можем найти соответствующие значения \(y\) для каждого уравнения. Подставим \(x = -2\) и \(x = 1\) в уравнения и найдем значения \(y\):
При \(x = -2\):
\[y = (-2)^2 = 4\]
При \(x = 1\):
\[y = 1^2 = 1\]

Таким образом, получили две точки пересечения: (-2, 4) и (1, 1).

Теперь нам нужно найти площадь фигуры между графиками. Для этого нужно найти разность между интегралом верхней функции и нижней функции на интервалах между точками пересечения.

Первая функция \(y = x^2\) является верхней функцией в интервале (-2, 1), и вторая функция \(y = 2 - x\) является нижней функцией на этом интервале.

Используем интеграл для вычисления площади:
\[\int_{-2}^{1} (x^2 - (2 - x)) dx\]

Выполняем вычисления:
\[\int_{-2}^{1} (x^2 - 2 + x) dx = \left[\frac{x^3}{3} - 2x + \frac{x^2}{2}\right]_{-2}^{1}\]
\[\left(\frac{1^3}{3} - 2(1) + \frac{1^2}{2}\right) - \left(\frac{(-2)^3}{3} - 2(-2) + \frac{(-2)^2}{2}\right)\]
\[\left(\frac{1}{3} - 2 + \frac{1}{2}\right) - \left(\frac{-8}{3} + 4 + 2\right) = \frac{1}{6} - \frac{2}{3} - 6 = -6\frac{5}{6}\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций \(y = x^2\) и \(y = 2 - x\), равна \(-6\frac{5}{6}\).

2. Для нахождения площади фигуры, образованной графиком функции \(y = x^2 + 2x + 4\) и ограниченной линиями \(x = -2\), \(x = 1\) и \(y = 2\), нужно рассчитать интеграл от \(x = -2\) до \(x = 1\) функции \(y = x^2 + 2x + 4\) и вычесть площадь треугольника.

Для начала найдем значения \(y\) для заданных точек. Подставим \(x = -2\), \(x = 1\) и \(y = 2\) в уравнение \(y = x^2 + 2x + 4\):

При \(x = -2\):
\[y = (-2)^2 + 2(-2) + 4 = 4 - 4 + 4 = 4\]

При \(x = 1\):
\[y = 1^2 + 2(1) + 4 = 1 + 2 + 4 = 7\]

Таким образом, получим точки пересечения: (-2, 4), (1, 7) и точку (1, 2) для треугольника.

Найдем площадь фигуры, ограниченной графиком функции и линиями.
\[\int_{-2}^{1} (x^2 + 2x + 4) dx = \left[\frac{x^3}{3} + x^2 + 4x\right]_{-2}^{1}\]
\[\left(\frac{1^3}{3} + 1^2 + 4(1)\right) - \left(\frac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 + 4(-2)\right)\]
\[\left(\frac{1}{3} + 1 + 4\right) - \left(\frac{-8}{3} + 4 + (-8)\right) = 6 - \frac{16}{3} = \frac{18}{3} - \frac{16}{3} = \frac{2}{3}\]

Теперь найдем площадь треугольника, ограниченного точками (1, 2), (1, 7) и \(y = 2\). Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты:
\[S = \frac{1}{2} \cdot (7 - 2) \cdot 1 = \frac{1}{2} \cdot 5 = \frac{5}{2}\]

Таким образом, площадь фигуры равна сумме площади фигуры под графиком функции и площади треугольника:
\[S = \frac{2}{3} + \frac{5}{2} = \frac{4}{6} + \frac{15}{6} = \frac{19}{6}\].

Ответ: площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(y = x^2 + 2x + 4\) и линиями \(x = -2\), \(x = 1\) и \(y = 2\), равна \(\frac{19}{6}\).

3. Для нахождения площади фигуры, образованной графиком функции \(y = x^2\) и осью \(x\) между точками пересечения, нужно рассчитать интеграл от \(x = 0\) до \(x = 1\) функции \(y = x^2\).

Так как фигура представляет собой положительную часть графика функции \(y = x^2\) между \(x = 0\) и \(x = 1\), площадь можно найти следующим образом:
\[\int_{0}^{1} x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}\]
\[\left(\frac{1^3}{3}\right) - \left(\frac{0^3}{3}\right) = \frac{1}{3}\]

Таким образом, площадь фигуры, образованной графиком функции \(y = x^2\) и осью \(x\) между точками пересечения, равна \(\frac{1}{3}\).

Ответ: площадь фигуры равна \(\frac{1}{3}\).