1. Find the solutions to the equations: 1) Solve the equation: 5x2 − 10 = 0; 3) Solve the equation: x2 + 6x − 7

Лазерный_Робот

19

1) Решение уравнений:


1) Решим уравнение: \(5x^2 - 10 = 0\)

Сначала добавим 10 к обеим сторонам:
\(5x^2 = 10\)

Затем разделим обе стороны на 5:
\(x^2 = 2\)

Возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\(x = \pm \sqrt{2}\)

Таким образом, решением уравнения \(5x^2 - 10 = 0\) являются \(x = \sqrt{2}\) и \(x = -\sqrt{2}\).


3) Решим уравнение: \(x^2 + 6x - 7 = 0\)

Для решения этого уравнения мы можем использовать метод факторизации. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 6, а их произведение равно -7.

6 и -1 - это два числа, которые удовлетворяют этим условиям.

Теперь мы можем факторизовать уравнение:
\(x^2 + 6x - 7 = (x + 7)(x - 1) = 0\)

Таким образом, решениями уравнения \(x^2 + 6x - 7 = 0\) являются \(x = -7\) и \(x = 1\).


5) Решим уравнение: \(x^2 - 3x + 1 = 0\)

Это квадратное уравнение не может быть разложено на линейные множители. Мы можем использовать квадратное уравнение для его решения, или же применить формулу дискриминанта.

Для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) дискриминант вычисляется по формуле: \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае \(a = 1\), \(b = -3\) и \(c = 1\). Вычислим дискриминант:
\(D = (-3)^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5\).

Если дискриминант положительный (\(D > 0\)), то у уравнения есть два различных действительных корня. Вычислим корни с помощью формулы:
\(x=\frac{{-b\pm\sqrt{D}}}{{2a}}\)

\(x=\frac{{-(-3)\pm\sqrt{5}}}{{2(1)}}\)

\(x=\frac{{3\pm\sqrt{5}}}{{2}}\)

Таким образом, решениями уравнения \(x^2 - 3x + 1 = 0\) являются \(x = \frac{{3+\sqrt{5}}}{{2}}\) и \(x = \frac{{3-\sqrt{5}}}{{2}}\).


2) Создадим квадратное уравнение, сумма корней которого равна 6, а их произведение равно 4.

Квадратное уравнение может быть записано в виде \(ax^2 + bx + c = 0\).

Известно, что сумма корней равна \(-\frac{b}{a}\) и произведение корней равно \(\frac{c}{a}\).

Мы имеем два условия: \(-\frac{b}{a} = 6\) и \(\frac{c}{a} = 4\).

Давайте выберем \(a\) равным 1 и найдем соответствующие значения \(b\) и \(c\).

Из первого условия следует, что \(-b = 6\), поэтому \(b = -6\).

Из второго условия мы находим, что \(c = 4\).

Таким образом, квадратное уравнение, сумма корней которого равна 6, а их произведение равно 4, можно записать как:
\(x^2 - 6x + 4 = 0\).


4) Найдем второй корень уравнения \(2x^2 + bx - 6 = 0\), если известно, что -6 является корнем.

Если -6 является корнем, то это означает, что значение уравнения при \(x = -6\) равно 0.

Подставим это значение в уравнение:
\(2(-6)^2 + b(-6) - 6 = 0\)

Упростим:
\(72 - 6b - 6 = 0\)

Решим это уравнение, найдя значение \(b\):
\(72 - 6b - 6 = 0\)
\(66 - 6b = 0\)
\(6b = 66\)
\(b = \frac{66}{6}\)
\(b = 11\)

Таким образом, второй корень уравнения \(2x^2 + bx - 6 = 0\) равен -6, а значение \(b\) равно 11.


6) Решим уравнение: \(x^2 - x + 3 = 0\)

Это квадратное уравнение не может быть разложено на линейные множители. Мы можем использовать квадратное уравнение для его решения, или же применить формулу дискриминанта.

Для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) дискриминант вычисляется по формуле: \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае \(a = 1\), \(b = -1\) и \(c = 3\). Вычислим дискриминант:
\(D = (-1)^2 - 4(1)(3) = 1 - 12 = -11\).

Если дискриминант отрицательный (\(D < 0\)), то у уравнения нет действительных корней. В данном случае уравнение \(x^2 - x + 3 = 0\) не имеет решений.