1. функція менше нуля 2. функція зростає 3. функція дорівнює нулю 4. функція спадає

Los_3735

59

Конечно! Давайте рассмотрим каждую из заданных ситуаций.

1. Функция меньше нуля:

Функция является меньше нуля в тех точках, где значение функции отрицательно. Для того чтобы найти такие точки, необходимо решить уравнение:
\[f(x) < 0.\]

Например, если уравнение функции выглядит следующим образом: \[f(x) = x^2 - 4x - 5,\] то мы можем решить это уравнение следующим образом:

\[x^2 - 4x - 5 < 0.\]

Для нахождения значений x, при которых функция меньше нуля, можно использовать метод графиков или факторизацию уравнения. В данном случае, мы можем использовать факторизацию:

\[x^2 - 4x - 5 = (x-5)(x+1),\]

что значит, что функция будет меньше нуля, когда \((x-5)(x+1) < 0.\)

Из этого уравнения можно получить две половины интервалов:

\[
\begin{align*}
& (x-5) < 0 \quad \text{и} \quad (x+1) > 0, \\
& \text{или} \\
& (x-5) > 0 \quad \text{и} \quad (x+1) < 0.
\end{align*}
\]

Решая первую половину, получаем:

\[
\begin{align*}
& (x-5) < 0 \quad \Rightarrow \quad x < 5, \\
& (x+1) > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -1.
\end{align*}
\]

Из этого следует, что функция будет меньше нуля, когда \(-1 < x < 5.\)

Решая вторую половину, получаем:

\[
\begin{align*}
& (x-5) > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 5, \\
& (x+1) < 0 \quad \Rightarrow \quad x < -1.
\end{align*}
\]

Из этого следует, что функция будет меньше нуля, когда \(x < -1\) или \(x > 5.\)

2. Функция зростающая:

Функция является зростающей, когда значение функции увеличивается с увеличением аргумента. Для того чтобы определить, когда функция зростает, можно рассмотреть производную функции. Если производная положительна на интервале, значит функция зростает на этом интервале.

Например, если у нас есть функция \[f(x) = x^2,\] то производная этой функции будет \[f"(x) = 2x.\] Чтобы узнать, где функция зростает, нам нужно решить неравенство \[f"(x) > 0.\] Для данной функции, производная положительна для всех значений \(x > 0,\) что значит, что функция зростает на интервале \((0, +\infty).\)

3. Функция равна нулю:

Функция равна нулю в тех точках, где значение функции равно нулю. Для решения этой задачи, нам нужно решить уравнение:
\[f(x) = 0.\]

Допустим, у нас есть функция \[f(x) = x^2 - 9.\] Чтобы найти значения \(x,\) при которых функция равна нулю, мы можем решить следующее уравнение:

\[x^2 - 9 = 0.\]

Мы можем факторизовать это уравнение следующим образом:

\[(x-3)(x+3) = 0,\]

что значит, что функция будет равна нулю, когда \(x-3 = 0\) или \(x+3 = 0.\) Из этого следует, что функция равна нулю, когда \(x = 3\) или \(x = -3.\)

4. Функция убывает:

Функция является убывающей, когда значение функции уменьшается с увеличением аргумента. Чтобы узнать, когда функция убывает, можно снова использовать производную функции. Если производная отрицательна на интервале, то функция убывает на этом интервале.

Например, если дана функция \[f(x) = -2x^3 + 6x^2,\] то производная этой функции будет \[f"(x) = -6x^2 + 12x.\] Чтобы узнать, где функция убывает, нужно решить неравенство \[f"(x) < 0.\] В данном случае, функция будет убывать, когда \(0 < x < 2.\)

Надеюсь, это объяснение помогло вам лучше понять функции и их свойства. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!