1. How can we generate a set M of different numbers that are powers of 3 and do not exceed 100? Write down the

Добрый_Убийца

51

Задача 1:
Мы хотим создать множество \(M\) из различных чисел, являющихся степенями числа 3 и не превосходящих 100. Для этого нам нужно найти все степени числа 3, начиная с 1 и продолжая до тех пор, пока очередное число не превысит 100. Вот как это можно сделать:

1 = \(3^0\)
3 = \(3^1\)
9 = \(3^2\)
27 = \(3^3\)
81 = \(3^4\)

Таким образом, получаем множество \(M\) = {1, 3, 9, 27, 81}.

Теперь нам необходимо составить список всех подмножеств множества \(M\), обозначенный как \(\beta(M)\). Чтобы это сделать, мы должны перечислить все возможные комбинации элементов множества \(M\), включая пустое множество и само множество \(M\). Вот все подмножества множества \(M\):

\(\beta(M)\) = { {}, {1}, {3}, {9}, {27}, {81}, {1, 3}, {1, 9}, {1, 27}, {1, 81}, {3, 9}, {3, 27}, {3, 81}, {9, 27}, {9, 81}, {27, 81}, {1, 3, 9}, {1, 3, 27}, {1, 3, 81}, {1, 9, 27}, {1, 9, 81}, {1, 27, 81}, {3, 9, 27}, {3, 9, 81}, {3, 27, 81}, {9, 27, 81}, {1, 3, 9, 27}, {1, 3, 9, 81}, {1, 3, 27, 81}, {1, 9, 27, 81}, {3, 9, 27, 81}, {1, 3, 9, 27, 81}}

Кардинальность множества \(\beta(M)\), то есть количество его элементов, равна 32.

Задача 2:
Даны следующие множества: \(U = \{1,2,3,4,5,6,7\}\), \(X = \{1,2,3\}\), \(Y = \{2,3,6,7\}\), \(Z = \{1,2,4\}\).

1. Объединение множеств X и Y состоит из всех элементов, входящих хотя бы в одно из этих множеств.
\(X \cup Y = \{1,2,3,6,7\}\)

2. Разность множеств X и Y означает взятие всех элементов из X, не принадлежащих множеству Y, и все элементы из Y, не принадлежащие множеству X. Затем эти две разности объединяются в одно множество.
\(X \setminus Y = \{1\}\) и \(Y \setminus Z = \{3, 6, 7\}\)

В итоге получаем объединение этих двух разностей:
\((X \setminus Y) \cup (Y \setminus Z) = \{1, 3, 6, 7\}\)

3. Пересечение множества X и пересечения множеств Y и Z означает взятие общих элементов, которые принадлежат всем пересекаемым множествам.
\(Y \cap Z = \{2\}\)
Пересечение множества X с данным пересечением:
\(X \cap (Y \cap Z) = \{2\}\)

4. Разность объединения множеств X и Y и пересечения множеств X и Z означает взятие всех элементов из объединения X и Y, которые не входят в пересечение X и Z.
\(X \cup Y = \{1,2,3,6,7\}\) и \(X \cap Z = \{1,2\}\)

В итоге получаем разность этих двух множеств:
\((X \cup Y) \setminus (X \cap Z) = \{3, 6, 7\}\)

5. Пересечение множества X и объединения множеств Y и Z означает взятие общих элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих трех множеств.
\(Y \cup Z = \{1, 2, 3, 4, 6, 7\}\)
Пересечение множества X с данным объединением:
\(X \cap (Y \cup Z) = \{1, 2, 3\}\)

Задача 3:
Для создания диаграмм Эйлера, которые иллюстрируют множества, нам необходимо применить логические круги и пересечения для представления множеств.

Учитывая предоставленные множества:
\(U = \{1,2,3,4,5,6,7\}\), \(X = \{1,2,3\}\), \(Y = \{2,3,6,7\}\), \(Z = \{1,2,4\}\)

\(\text{Круг U}\) - все элементы из универсального множества U.
\(\text{Круг X}\) - все элементы из множества X.
\(\text{Круг Y}\) - все элементы из множества Y.
\(\text{Круг Z}\) - все элементы из множества Z.

Теперь мы можем построить диаграммы Эйлера, чтобы показать пересечения и объединения множеств.

1. Диаграмма для X объединение Y:
\[X \cup Y\]
\[
\begin{equation}
\begin{split}
\text{1} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{3} \\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{{Круг X}}\\
\text{2} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{{Круг Y}}
\end{split}
\end{equation}
\]

2. Диаграмма для (X минус Y) объединение (Y минус Z):
\[(X \setminus Y) \cup (Y \setminus Z)\]
\[
\begin{equation}
\begin{split}
\text{{1, 3}} \\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{{Круг X - Круг Y}}\\
\text{{6, 7}} \;\;\;\;\;\;\;\; \text{{Круг Y - Круг Z}}
\end{split}
\end{equation}
\]

3. Диаграмма для пересечения X и (Y пересечение Z):
\[X \cap (Y \cap Z)\]
\[
\begin{equation}
\begin{split}
\text{{2}} \\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{{Круг Y - Круг Z}}\\
\;\;\;\;\