1. Имеется уравнение для колебания струны h(t)=-2cos(t/2), t ≥0. Найдите: а) Амплитуду колебания b) Наименьший

Svetlana_5730

47

Хорошо, давайте решим данную задачу шаг за шагом, чтобы ответы были понятны школьнику.

а) Для нахождения амплитуды колебания, нам необходимо найти абсолютное значение максимального значения функции \( h(t) \), так как амплитуда колебания определяется как расстояние от равновесного положения до крайнего положительного или крайнего отрицательного значения колебания.

В данном случае, у нас уравнение колебания \( h(t) = -2 \cos(\frac{t}{2}) \).

Для нахождения максимального значения, мы должны найти максимальное абсолютное значение функции \( h(t) \), которое достигается при наиболее удаленной точке от нуля.

Мы знаем, что максимальное значение абсолютного значения функции \( \cos(x) \) равно 1. Таким образом, максимальное абсолютное значение функции \( h(t) \) равно \( |-2| = 2 \).

Следовательно, амплитуда колебания составляет 2.

б) Чтобы найти наименьший положительный период колебания, нам нужно найти минимальное положительное значение \( t \), при котором функция \( h(t) \) возвращается в исходное состояние.

Функция \( h(t) = -2 \cos(\frac{t}{2}) \) будет достигать исходного значения, когда аргумент \( \frac{t}{2} \) будет удовлетворять условию \( \frac{t}{2} = 2\pi n \), где \( n \) - целое число (как будто мы повторяем колебание снова и снова).

Решив это уравнение относительно \( t \), получим \( t = 4\pi n \), где \( n \) - целое число.

Наименьший положительный период колебания будет равен наименьшему положительному значению \( t \), которое удовлетворяет этому условию.

Так как период колебания равен длине одного полного цикла, то наименьший положительный период колебания будет равен \( t = 4\pi \).

в) Чтобы найти область значений функции \( h(t) \), мы должны определить, какие значения может принимать функция \( h(t) \).

В данном случае, функция \( h(t) = -2 \cos(\frac{t}{2}) \) имеет амплитуду равную 2, следовательно, значения функции будут лежать в диапазоне от -2 до 2.

Таким образом, область значений функции \( h(t) \) составляет \([-2,2]\).

г) Для построения графика функции на промежутке \([0;\frac{3\pi}{2}]\), мы должны определить значения функции \( h(t) \) для всех значений \( t \) в указанном диапазоне.

Мы можем использовать эти значения для построения графика.

Подставляя значения \( t = 0 \), \( t = \frac{\pi}{2} \), \( t = \pi \), \( t = \frac{3\pi}{2} \) в функцию \( h(t) = -2\cos(\frac{t}{2}) \), получаем:

\[
h(0) = -2\cos(0) = -2
\]
\[
h(\frac{\pi}{2}) = -2\cos(\frac{\pi}{4}) = -2\frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}
\]
\[
h(\pi) = -2\cos(\frac{\pi}{2}) = -2(0) = 0
\]
\[
h(\frac{3\pi}{2}) = -2\cos(\frac{3\pi}{4}) = -2(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2}
\]

Таким образом, точки на графике функции \( h(t) \) для промежутка \([0;\frac{3\pi}{2}]\) будут:

(0, -2), (\(\frac{\pi}{2}\), -\(\sqrt{2}\)), (\(\pi\), 0), (\(\frac{3\pi}{2}\), \(\sqrt{2}\))

Используя эти точки, мы можем построить график функции на данном промежутке.

Получается, что график функции \( h(t) \) на промежутке \([0;\frac{3\pi}{2}]\) будет выглядеть следующим образом: