Постройте диаграмму функции f(x)=-2x^2-x+5 и, используя диаграмму, найдите: 1) значение функции при x=-0.3; 1.2

Сквозь_Песок

56

Хорошо, давайте начнем с построения диаграммы функции f(x) = -2x^2 - x + 5. Для этого нам понадобится некоторое представление о том, как выглядит парабола и как она поворачивается в зависимости от коэффициентов перед x^2 и x.

Сначала рассмотрим коэффициенты в функции f(x):

a = -2 (коэффициент перед x^2)
b = -1 (коэффициент перед x)
c = 5 (свободный член)

Затем мы можем использовать эти значения для построения диаграммы. Диаграмма позволит нам визуализировать график функции и видеть, как меняется ее значение при разных значениях x.

Чтобы построить диаграмму, давайте выберем несколько значений x и найдем соответствующие значения f(x). Затем отметим эти точки на координатной плоскости и проведем через них плавную кривую линию, чтобы получить график функции.

1) Значение функции при x = -0.3:
Для этого подставим x = -0.3 в выражение для f(x):
f(-0.3) = -2(-0.3)^2 - (-0.3) + 5
= -2(0.09) + 0.3 + 5
= -0.18 + 0.3 + 5
= 5.12

2) Значение функции при x = 1.2:
Подставим x = 1.2 в выражение для f(x):
f(1.2) = -2(1.2)^2 - (1.2) + 5
= -2(1.44) - 1.2 + 5
= -2.88 - 1.2 + 5
= 1.92

3) Значение функции при x = 3:
Подставим x = 3 в выражение для f(x):
f(3) = -2(3)^2 - (3) + 5
= -2(9) - 3 + 5
= -18 - 3 + 5
= -16

4) Значение функции при x = 2:
Подставим x = 2 в выражение для f(x):
f(2) = -2(2)^2 - (2) + 5
= -2(4) - 2 + 5
= -8 - 2 + 5
= -5

Теперь перейдем ко второй части задачи.

1) Найдем значение аргумента x, при котором f(x) = 5:
Для этого приравняем f(x) к 5 и решим уравнение:
-2x^2 - x + 5 = 5
-2x^2 - x = 0

Для нахождения корней этого квадратного уравнения можно воспользоваться формулой дискриминанта D = b^2 - 4ac и формулами корней x = (-b ± √D) / (2a).

Однако, для данного случая нам необходимо использовать график функции, чтобы найти значения аргумента x, при которых f(x) = 5. По графику можно определить, что приблизительно значение x равно 1.

2) Найдем значение аргумента x, при котором f(x) = 2:
Аналогично предыдущему пункту, мы можем использовать график функции для определения этого значения. По графику можно определить, что приблизительно значение x равно 1.5.

3) Найдем значение аргумента x, при котором f(x) = -1:
Снова воспользуемся графиком функции и определим, что приблизительно значение x равно 2.5.

Теперь перейдем к третьей части задачи.

1) Найдем корни функции:
Чтобы найти корни функции, решим квадратное уравнение -2x^2 - x + 5 = 0. Для этого также воспользуемся формулой дискриминанта D = b^2 - 4ac и формулами корней x = (-b ± √D) / (2a).

D = (-1)^2 - 4*(-2)*5 = 1 + 40 = 41

Таким образом, у нас есть два корня, и они могут быть найдены с помощью формулы корней:

x = (-(-1) ± √41) / (2*(-2))
x = (1 ± √41) / (-4)

То есть корни функции f(x) = -2x^2 - x + 5 равны:
x₁ = (1 + √41) / (-4)
x₂ = (1 - √41) / (-4)

2) Найдем интервалы сохранения знака функции:
Для этого нам нужно определить, когда функция f(x) больше или меньше нуля.

Для начала найдем вершину пары параболы. Формула вершины параболы x = -b/(2a), тогда x = -(-1)/(2*(-2)) = -1/(-4) = 1/4.

Исходя из этого, можно сделать вывод, что ось симметрии функции проходит через x = 1/4.

Теперь рассмотрим поведение параболы в разных интервалах:

a) Когда x < 1/4:
В этом случае коэффициент при x^2 отрицательный, поэтому парабола будет направлена вниз. Значит, значение функции f(x) будет положительным при маленьких значениях x и отрицательным при больших значениях x.

b) Когда x > 1/4:
В этом случае коэффициент при x^2 отрицательный, поэтому парабола также будет направлена вниз. Значит, значение функции f(x) будет отрицательным при всех значениях x больше 1/4.

c) Найдем интервалы сохранения знака функции:
Для этого нужно определить, когда функция f(x) больше или меньше нуля. Подставим x₁ (-1/4)(вершина параболы) и x₂ (корень) в функцию f(x):

f((-1 - √41) / (-4)) ≈ 5.85
f((-1 + √41) / (-4)) ≈ -3.35

Таким образом, интервалы сохранения знака функции можно записать следующим образом:

-∞ < x < (-1 - √41) / (-4)
(-1 - √41) / (-4) < x < (-1 + √41) / (-4)
(-1 + √41) / (-4) < x < +∞

Наконец, перейдем к последней части задачи.

4) Найдем пик параболы и ось симметрии:
Пик параболы находится в ее вершине. Мы уже определили, что ось симметрии проходит через x = 1/4. Подставим это значение в функцию f(x), чтобы найти значение пика:

f(1/4) = -2(1/4)^2 - (1/4) + 5
= -2(1/16) - 1/4 + 5
= -1/8 - 1/4 + 5
= 5 + (-2/8) + (-2/8)
= 5 - 1/4
= 4.75

Таким образом, пик параболы находится в точке (1/4, 4.75).

Ось симметрии, как уже было сказано, проходит через x = 1/4.

Вот и все! Мы построили диаграмму функции, нашли значения функции при разных значениях x, значения аргумента x при которых f(x) = 5, 2, -1, нашли корни функции, интервалы сохранения знака функции, пик параболы и ось симметрии.