Как изменяется значение у функции, когда значение х увеличивается от 1/3 до 27? Постройте график функции у=log(1/3

Yabloko

21

Решим задачу по порядку.

1) Для того чтобы узнать, как изменяется значение функции \(y = \log_{\frac{1}{3}}x\) при изменении значения \(x\) от \(\frac{1}{3}\) до 27, мы можем построить таблицу значений и посмотреть на нее.

Подставим различные значения \(x\) в функцию и найдем соответствующие значения \(y\):

\[x = \frac{1}{3}, \, y = \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{3}\right) = 1;\]
\[x = 1, \, y = \log_{\frac{1}{3}}1 = 0;\]
\[x = 3, \, y = \log_{\frac{1}{3}}3 = -1;\]
\[x = 9, \, y = \log_{\frac{1}{3}}9 = -2;\]
\[x = 27, \, y = \log_{\frac{1}{3}}27 = -3.\]

Таким образом, значение функции \(y\) при изменении \(x\) от \(\frac{1}{3}\) до 27 будет убывать: 1, 0, -1, -2, -3.

Теперь построим график функции \(y = \log_{\frac{1}{3}}x\):

\[
\begin{array}{c|c}
x & y \\
\hline
0.01 & 2 \\
0.1 & 1 \\
1 & 0 \\
10 & -1 \\
100 & -2 \\
\end{array}
\]

\[
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xlabel={x},
ylabel={y},
axis lines=middle,
xmin=0,
xmax=30,
ymin=-4,
ymax=2,
legend style={at={(1,0.9)},anchor=north east}
]
\addplot [domain=0.01:30, samples=200, color=blue] {ln(x)/ln(1/3)};
\addlegendentry{$y = \log_{\frac{1}{3}}x$}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\]

2) Решим уравнение а) \(\log_{0,2}(x^2 + 4x) = -1\).

Используем свойство логарифма \(\log_a b = c\) равносильно \(b = a^c\) для переписывания уравнения в эквивалентной форме:

\[0,2^{-1} = x^2 + 4x.\]

Упростим:

\[5 = x^2 + 4x.\]

Получили квадратное уравнение. Перенесем все в левую сторону и заменим исходное уравнение его эквивалентной формой:

\[0 = x^2 + 4x - 5.\]

Далее решим это квадратное уравнение с помощью факторизации, квадратного трехчлена или формулы дискриминанта.

3) Решим уравнение б) \(\log_{3} \frac{1}{x} + \log_{3} \sqrt{x} = -1\).

Объединим логарифмы с помощью свойства \(\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)\):

\[\log_{3} \frac{1}{x} \cdot \sqrt{x} = -1.\]

Применим тот факт, что \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\):

\[\log_{3} \frac{1}{x} \cdot x^{\frac{1}{2}} = -1.\]

Воспользуемся свойством \(\log_a b = c\) равносильно \(b = a^c\):

\[\frac{1}{x} \cdot x^{\frac{1}{2}} = 3^{-1}.\]

Сократим дробь:

\[\sqrt{x} = \frac{1}{3}.\]

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[x = \left(\frac{1}{3}\right)^2.\]

Рассчитаем значение справа:

\[x = \frac{1}{9}.\]

Таким образом, решением уравнения будет \(x = \frac{1}{9}\).

4) Решим неравенство \(\log_{0,5}(x-1) > 0\).

Для начала найдем область допустимых значений, определяемую условием \((x-1) > 0\):

\(x > 1\).

Теперь решим неравенство \(\log_{0,5}(x-1) > 0\) при условии \(x > 1\).

\(\log_{0,5}(x-1) > 0\) означает, что \(x-1 > 1\), так как о основании логарифма мы знаем, что \(\log_a b > 0\) только если \(b > 1\).

Решив это уравнение, получаем:

\(x > 2\).

Таким образом, решением неравенства \(\log_{0,5}(x-1) > 0\) при условии \(x > 1\) будет любое значение \(x\), где \(x > 2\).