1. Используя классическое определение вероятности, решите следующую задачу. В наборе из 15 шурупов с правой резьбой

Panda

27

Конечно! Давайте решим эти задачи по порядку.

1. Перейдем к первой задаче. Нам нужно найти вероятность того, что из выбранных случайным образом 7 шурупов, ровно 3 будут иметь правую резьбу. Всего у нас в наличии 15 шурупов с правой резьбой и 10 шурупов с левой резьбой.

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события определяется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.

Количество способов выбрать 3 шурупа с правой резьбой из 15 равно \(\binom{15}{3}\). Здесь \(\binom{n}{k}\) обозначает число сочетаний из n по k.

Количество способов выбрать 4 шурупа с любой другой комбинацией равно \(\binom{10}{4}\).

Общее число возможных исходов - выбрать 7 шурупов из 25 - равно \(\binom{25}{7}\).

Итак, вероятность составляет:
\[
P = \frac{\binom{15}{3} \cdot \binom{10}{4}}{\binom{25}{7}}
\]

Применим формулу сочетаний для чисел в задаче:

\[
P = \frac{\frac{15!}{3! (15-3)!} \cdot \frac{10!}{4! (10-4)!}}{\frac{25!}{7! (25-7)!}}
\]

Сократим факториалы в числителе и знаменателе, и упростим выражение:

\[
P = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{7 \cdot 6 \cdot 5} \cdot \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2} \cdot \frac{7! (25-7)!}{25!}
\]

Выполним арифметические операции:

\[
P = \frac{2730}{7 \cdot 60} \cdot \frac{720}{24} \cdot \frac{5040}{25!} = \frac{2730}{7 \cdot 60} \cdot \frac{720}{24} \cdot \frac{5040}{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19}
\]

Упростим выражение:

\[
P = \frac{2730}{7 \cdot 60} \cdot \frac{720}{24} \cdot \frac{1}{25 \cdot 23 \cdot 4 \cdot 19} = \frac{3}{38}
\]

Таким образом, вероятность составляет \(\frac{3}{38}\).

2. Перейдем ко второй задаче. Здесь нам необходимо найти вероятность того, что в выборке из 6 шаров число зеленых шаров будет превосходить число синих не менее чем на два.

Для решения задачи воспользуемся теоремой умножения вероятностей и теоремой сложения вероятностей.

Для случая, когда число зеленых шаров больше числа синих шаров ровно на два, есть два возможных исхода: 4 зеленых и 2 синих, или 5 зеленых и 1 синий. Найдем вероятность каждого из этих исходов.

Вероятность выбрать 4 зеленых шара из 8 составляет \(\frac{\binom{8}{4}}{\binom{12}{6}}\).

Вероятность выбрать 2 синих шара из 4 составляет \(\frac{\binom{4}{2}}{\binom{12}{6}}\).

Следовательно, вероятность того, что ситуация будет именно такая, составляет:
\[
P_1 = \frac{\frac{\binom{8}{4}\binom{4}{2}}{\binom{12}{6}}}{\binom{12}{6}}
\]

Вероятность выбрать 5 зеленых шаров из 8 составляет \(\frac{\binom{8}{5}}{\binom{12}{6}}\).

Вероятность выбрать 1 синий шар из 4 составляет \(\frac{\binom{4}{1}}{\binom{12}{6}}\).

Таким образом, вероятность такого исхода равна:
\[
P_2 = \frac{\frac{\binom{8}{5}\binom{4}{1}}{\binom{12}{6}}}{\binom{12}{6}}
\]

Нам необходимо также учесть случай, когда число зеленых шаров больше числа синих более, чем на два.

Вероятность выбрать 6 зеленых шаров из 8 составляет \(\frac{\binom{8}{6}}{\binom{12}{6}}\).

Вероятность выбрать 0 синих шаров из 4 составляет \(\frac{\binom{4}{0}}{\binom{12}{6}}\).

Таким образом, вероятность такого исхода равна:
\[
P_3 = \frac{\frac{\binom{8}{6}\binom{4}{0}}{\binom{12}{6}}}{\binom{12}{6}}
\]

Сложим найденные вероятности, чтобы получить итоговую вероятность, удовлетворяющую условию задачи:
\[
P = P_1 + P_2 + P_3
\]

3. Перейдем к третьей задаче. Здесь нам нужно использовать формулу полной вероятности и формулу Байеса.

Пусть \(A\) - это событие, когда сигнал А появляется, и \(B\) - событие, когда сигнал В появляется.

Для начала нам нужно знать вероятности появления каждого из этих событий, а также условные вероятности перехода от одного события к другому.

Пусть \(P(A) = p\) и \(P(B) = 1 - p\). Также пусть \(P(A|B) = q\) и \(P(B|A) = 1 - q\).

Тогда условная вероятность события \(A\) при условии события \(B\) равна \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\), и условная вероятность события \(B\) при условии события \(A\) равна \(P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\).

Используя формулу Байеса, мы можем выразить вероятность \(P(A \cap B)\) через вероятности и условные вероятности:

\[
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(A|B) = p \cdot q
\]

Аналогично, выразим вероятность \(P(B \cap A)\) через вероятности и условные вероятности:

\[
P(B \cap A) = P(B) \cdot P(B|A) = (1 - p) \cdot (1 - q)
\]

Теперь можем найти вероятность появления сигнала В:

\[
P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap \overline{A}) = (1 - p) \cdot (1 - q)
\]

Так как сигналы А и В являются полным разделением пространства, то вероятность события \(A\) можно найти как:

\[
P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - P(A \cap \overline{B}) = 1 - P(B \cap \overline{A})
\]

Соответственно, это равно:

\[
P(A) = 1 - (1 - p) \cdot (1 - q)
\]

Теперь, используя формулу полной вероятности:

\[
P(B) = p \cdot q + (1 - p) \cdot (1 - q)
\]

Используя формулу Байеса, можем найти условную вероятность \(P(A|B)\):

\[
P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(B)}
\]

Подставим полученные значения:

\[
P(A|B) = \frac{(1 - (1 - p) \cdot (1 - q)) \cdot (1 - q)}{p \cdot q + (1 - p) \cdot (1 - q)}
\]

Таким образом, мы нашли условную вероятность \(P(A|B)\) при условии, что сигнал В появился.