1. Как доказать, что следующие высказывательные схемы не являются тавтологиями: 1) Если X → Y ∧ Z верно, то ¬ Y

Karina

36

1. Для каждой из высказывательных схем проведем пошаговое решение.

1) Для доказательства неверности схемы, мы должны найти контрпример, то есть значения переменных X, Y и Z, при которых условие схемы выполняется, но вывод неверен. Рассмотрим следующие значения:

Пусть X = True, Y = False и Z = True.
Тогда высказывание X → Y ∧ Z будет истинно, потому что вторая часть конъюнкции (Y ∧ Z) равна False, а любое высказывание с И ("and") содержит False значением только в том случае, когда и одно, и другое слагаемое являются False.
Теперь, если мы хотим показать, что ¬ Y → ¬ X - неверно, то вспомним, что импликация X → Y эквивалентна ¬ X ∨ Y. Если Y равно False, тогда ¬ X ∨ Y будет равно False ∨ False, что также равно False. Следовательно, схема не является тавтологией.

2) Для проверки неверности второй схемы рассмотрим следующие значения переменных:

Пусть X = False и Y = True.
Тогда X ∨ Y будет равно True, а (X ∨ Y) ∨ (X ∨ Y) будет также равно True.
Если мы хотим проверить, что X ∨ XY" ∨ X"Y" неравно X ∨ Y, то заметим, что XY" ∨ X"Y" будет равно True, что приведет к истинному высказыванию X ∨ XY" ∨ X"Y", в то время как X ∨ Y будет False. Следовательно, схема неверна.

3) Для проверки третьей схемы используем следующие значения переменных:

Пусть X = True и Y = False.
Тогда X ∨ Y равно True, и мы хотим доказать, что X ∨ Y также верно.
Заметим, что выражение "X ∨ Y" означает "X или Y" и является тождественно истинным, независимо от значений переменных.
Следовательно, третья схема является тавтологией.

4) Последнюю схему можно проверить на истинность, рассмотрев значения переменных:

Пусть X = False и Y = True.
Тогда выражение X → Y будет равно True, так как импликация в логике обозначает, что мы имеем False предпосылку и True заключение.
Если мы хотим проверить, что Y → X - неверно, то заметим, что импликация Y → X эквивалентна ¬ Y ∨ X. В данном случае, ¬ Y ∨ X будет равно True ∨ False, что равно True. Следовательно, четвертая схема также является тавтологией.

2. Чтобы доказать неравносильность данных высказывательных схемы, мы должны найти контрпримеры, то есть значения переменных, когда одно высказывание истинно, а другое ложно.

1) Для доказательства неравносильности первой схемы рассмотрим следующие значения переменных:

Пусть X = True и Y = False.
Тогда выражение X ∨ XY" ∨ X"Y" будет равно True ∨ True ∨ True, что равно True.
Однако, X ∨ Y будет равно True ∨ False, что равно True.
Следовательно, первая схема неравносильна второй схеме.

2) Аналогичным образом, для доказательства неравносильности второй схемы рассмотрим следующие значения:

Пусть X = True и Y = False.
Тогда XY ∨ X"Y ∨ XY" будет равно True ∨ True ∨ True, что равно True.
Тем не менее, XY ∨ X"Y будет равно True ∨ True, что также равно True.
Таким образом, вторая схема также неравносильна следующей схеме.

3) Чтобы доказать неравносильность третьей схемы, рассмотрим следующие значения переменных:

Пусть X = True, Y = False и Z = False.
Тогда (X → Y) → Z будет равно (True → False) → False.
Используя таблицу истинности для импликации, получим False → False, что также равно False.

С другой стороны, X → (Y → Z) будет равно True → (False → False).
Снова, используя таблицу истинности для импликации, получим True → True, что равно True.

Таким образом, третья схема также неравносильна.

3. Чтобы доказать, что высказывательная схема является тавтологией, необходимо провести равносильные преобразования, которые приведут к истинному высказыванию.

К сожалению, в вашем запросе нет указания на конкретную высказывательную схему, поэтому я не могу продолжить ответ. Пожалуйста, предоставьте конкретную высказывательную схему, и я с удовольствием помогу вам провести равносильные преобразования для доказательства ее тавтологичности.