1) Как можно представить многочлен 36а2+156а+169 в виде квадрата двучлена? 2) Как можно представить многочлен

Муха_1284

43

1) Для того чтобы представить многочлен \(36a^2+156a+169\) в виде квадрата двучлена, мы должны найти такие числа \(x\) и \(y\), чтобы \((x+y)^2\) равнялось данному многочлену. Давайте попробуем найти эти числа.

Сначала возьмем квадратный корень от первого и последнего члена данного многочлена. Корень квадратный из \(36a^2\) равен \(6a\), а корень квадратный из \(169\) равен \(13\). Заметим, что у нас не хватает и одного множителя \(156a\), чтобы получить \(156a\) в итоговом ответе. Чтобы учесть это, мы можем применить метод разложения на биномы.

Выразим \(156a\) как произведение \(2 \times 6a \times 13\):
\[156a = 2 \times 6a \times 13\]

Теперь мы можем записать наш многочлен в виде квадрата двучлена:
\[36a^2+156a+169 = (6a+13)^2\]

2) Чтобы представить многочлен \(0,25x^8-8x^4y+64y^2\) в виде квадрата суммы или разности, мы должны найти такие выражения \(A\) и \(B\), чтобы \((A \pm B)^2\) равнялось данному многочлену. Давайте попробуем найти эти выражения.

Заметим, что первый член нашего многочлена (\(0,25x^8\)) является квадратом члена \(0,5x^4\), а последний член (\(64y^2\)) является квадратом члена \(8y\). Поэтому, мы можем записать:
\[0,25x^8-8x^4y+64y^2 = (0,5x^4 \pm 8y)^2\]

Осталось определить знак перед вторым членом. Обратим внимание на знак "-8" в исходном многочлене. Чтобы он сохранялся в квадрате, нам нужно использовать знак "-", поэтому окончательный ответ будет:
\[0,25x^8-8x^4y+64y^2 = (0,5x^4 - 8y)^2\]

3) Чтобы упростить выражение \((9-m^3)^2\), мы должны возвести это выражение в квадрат. Возведение в квадрат означает умножение выражения на себя. Применим этот метод к данному выражению:

\[(9-m^3)^2 = (9-m^3) \times (9-m^3)\]

Для умножения выражений в формате \(a-b\), мы можем использовать метод FOIL (First, Outer, Inner, Last). Применим его к данному умножению:

\[(9-m^3) \times (9-m^3) = 9 \times 9 - 9 \times m^3 - m^3 \times 9 + m^3 \times m^3\]

Упрощаем это выражение, учитывая, что \(m^3 \times m^3 = (m^3)^2\):
\[81 - 9m^3 - 9m^3 + m^6\]

После суммирования и упрощения, получаем окончательный ответ:
\[(9-m^3)^2 = m^6 - 18m^3 + 81\]

4) Чтобы разложить многочлен \(-75b^2z^3+5b^5z^2+20b^3z\) на множители, мы можем сначала выполнить общую факторизацию. Обратим внимание на то, что каждый член содержит \(bz\) в себе, поэтому мы можем вынести \(bz\) как общий множитель:

\(-75b^2z^3+5b^5z^2+20b^3z = bz(-75b^z^2 + 5b^4z + 20b^2)\)

Теперь разложим \(bz\) и разложим многочлен внутри скобок на множители. Выглядит так:

\(bz(-75b^z^2 + 5b^4z + 20b^2) = bz((-15b^2)(5z^2) + 5b^2(b^2z) + 20(b^2))\)

Используя свойство дистрибутивности, получаем окончательный ответ:

\(bz((-15b^2)(5z^2) + 5b^2(b^2z) + 20(b^2)) = -15b^3z^2 + 5b^3z^3 + 20b^3\)

5) Чтобы разложить выражение \(a(y+15)+14(y+15)\) на множители, мы можем использовать свойство дистрибутивности и вынести общий множитель \((y+15)\):

\(a(y+15)+14(y+15) = (y+15)(a+14)\)

Таким образом, мы разложили данное выражение на множители: \((y+15)(a+14)\).