№1 Как найти экстремум функции y=2x³-x²-4x+5? #2 Как найти интервалы монотонности функции y=6x-x²-7? #3 Как найти

Muzykalnyy_Elf

41

Конечно, я помогу вам решить эти задачи. Давайте начнем с первой задачи.

№1 У нас дана функция y=2x³-x²-4x+5. Чтобы найти экстремумы этой функции, нужно найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует.

1. Шаг: Найдем производную функции y по x.
Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности и сложим результаты:
\[y" = \frac{d}{dx}(2x^3) - \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(4x) + \frac{d}{dx}(5)\]
Раскроем скобки и продифференцируем каждое слагаемое:
\[y" = 6x^2 - 2x - 4\]

2. Шаг: Найдем значения x, при которых производная равна нулю:
\[6x^2 - 2x - 4 = 0\]
Это квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью дискриминанта:
\[D = (-2)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-4) = 4 + 96 = 100\]
\[x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 6} = \frac{2 \pm 10}{12}\]
\[x_1 = \frac{2 + 10}{12} = \frac{12}{12} = 1\]
\[x_2 = \frac{2 - 10}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}\]

3. Шаг: Найдем значения y, соответствующие найденным значениям x из предыдущего шага.
Подставляем значения x в исходную функцию:
\[y_1 = 2 \cdot 1^3 - 1^2 - 4 \cdot 1 + 5 = 2 - 1 - 4 + 5 = 2\]
\[y_2 = 2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^3 - \left(-\frac{2}{3}\right)^2 - 4 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) + 5 = -\frac{16}{27} - \frac{4}{9} + \frac{8}{3} + 5 = \frac{32}{27}\]

Таким образом, функция имеет два экстремума. Минимум достигается при x = -2/3, y = 32/27, а максимум достигается при x = 1, y = 2.

Теперь перейдем ко второй задаче.

№2 Нам дана функция y = 6x - x² - 7. Чтобы найти интервалы монотонности этой функции, нужно найти значения x, при которых производная функции больше нуля или меньше нуля.

1. Шаг: Найдем производную функции y по x:
\[y" = \frac{d}{dx}(6x) - \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(7)\]
\[y" = 6 - 2x\]

2. Шаг: Найдем значения x, при которых производная равна нулю:
\[6 - 2x = 0\]
\[2x = 6\]
\[x = 3\]

3. Шаг: Определим, как меняется знак производной в интервалах:
a) Когда \(x < 3\):
Подставим значение x < 3 в производную:
\[y"(x) = 6 - 2x\]
\[y"(x < 3) = 6 - 2 \cdot x < 6 - 2 \cdot 3 = 0\]

b) Когда \(x > 3\):
Подставим значение x > 3 в производную:
\[y"(x) = 6 - 2x\]
\[y"(x > 3) = 6 - 2 \cdot x > 6 - 2 \cdot 3 = 0\]

Итак, производная функции отрицательна, когда \(x < 3\), и положительна, когда \(x > 3\).

Теперь перейдем к третьей задаче.

№3 У нас дана функция y = x²·(2sinx + 3). Чтобы найти производную этой функции, нужно продифференцировать каждое слагаемое по отдельности и сложить результаты.

1. Шаг: Найдем производную функции y по x:
Для этого продифференцируем каждое слагаемое по отдельности и сложим результаты:
\[y" = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot (2sinx + 3) + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(2sinx + 3)\]
Рассчитаем производные каждого слагаемого:
\[\frac{d}{dx}(x^2) = 2x\]
\[\frac{d}{dx}(2sinx + 3) = 2cosx\]
Подставим результаты:
\[y" = 2x \cdot (2sinx + 3) + x^2 \cdot 2cosx = 4xsinx + 6x + 2x^2cosx\]

Таким образом, производная функции y равна \(4xsinx + 6x + 2x^2cosx\).

Я надеюсь, что эти пошаговые решения помогут вам в понимании и решении данных задач. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!