1) Как сделать доказательство для тождества 5sin2a-4sinacosa=3sina? 2) Как изменить тождество cos7a-cos5a/2sin6a=-sina?
1) Как сделать доказательство для тождества 5sin2a-4sinacosa=3sina?
2) Как изменить тождество cos7a-cos5a/2sin6a=-sina?
2) Как изменить тождество cos7a-cos5a/2sin6a=-sina?
Анастасия 22
Конечно! Давайте посчитаем подробное доказательство для обоих тождеств.1) Для доказательства тождества \(5\sin^2(a) - 4\sin(a)\cos(a) = 3\sin(a)\), мы можем использовать тригонометрические тождества и элементарные математические операции.
Давайте начнем с левой стороны уравнения и посмотрим, как мы можем привести его к правой стороне.
Мы можем использовать тригонометрическую формулу \( \sin^2(a) = 1 - \cos^2(a) \) для замены \( \sin^2(a) \) в исходном уравнении:
\[ 5\sin^2(a) - 4\sin(a)\cos(a) = 5(1 - \cos^2(a)) - 4\sin(a)\cos(a) \]
Раскроем скобки и упростим:
\[ 5 - 5\cos^2(a) - 4\sin(a)\cos(a) \]
Теперь, для удобства, давайте сгруппируем слагаемые с \(\cos^2(a)\) и \(\sin(a)\cos(a)\):
\[ 5 - 5\cos^2(a) - 4\sin(a)\cos(a) = 5 - \cos^2(a)(5 + 4\sin(a)) \]
Теперь мы видим, что у нас есть слагаемое \(5 - \cos^2(a)\), которое можно заменить на \(\sin^2(a)\) с помощью тригонометрического тождества \(\sin^2(a) = 1 - \cos^2(a)\):
\[ 5 - \cos^2(a)(5 + 4\sin(a)) = \sin^2(a)(5 + 4\sin(a)) \]
Таким образом, мы получили правую сторону уравнения \(3\sin(a)\). Значит, левая и правая стороны уравнения равны, исходное тождество подтверждено.
2) Для изменения тождества \(\frac{\cos(7a) - \cos(5a)}{2\sin(6a)} = -\sin(a)\), мы можем снова использовать тригонометрические тождества и элементарные математические операции.
Давайте начнем с левой стороны уравнения и посмотрим, как мы можем привести его к правой стороне.
Первым шагом заметим, что у нас здесь есть разность косинусов:
\[ \frac{\cos(7a) - \cos(5a)}{2\sin(6a)} \]
Мы можем использовать формулу для вычитания косинусов:
\[ \cos(\alpha) - \cos(\beta) = -2\sin\left(\frac{{\alpha + \beta}}{2}\right)\sin\left(\frac{{\alpha - \beta}}{2}\right) \]
\[ \frac{\cos(7a) - \cos(5a)}{2\sin(6a)} = \frac{-2\sin\left(\frac{{7a + 5a}}{2}\right)\sin\left(\frac{{7a - 5a}}{2}\right)}{2\sin(6a)} \]
Упростим выражение:
\[ \frac{-2\sin(6a)\sin(a)}{2\sin(6a)} \]
Теперь мы видим, что у нас есть слагаемое \(\sin(6a)\) в числителе и знаменателе, которое можно сократить:
\[ \frac{-2\cancel{\sin(6a)}\sin(a)}{2\cancel{\sin(6a)}} \]
Остается только \(-\sin(a)\), что соответствует правой стороне уравнения.
Таким образом, мы получили правую сторону \(-\sin(a)\). Значит, левая и правая стороны уравнения равны, исходное тождество подтверждено.