Какова высота фигуры, полученной при размещении кубов со сторонами a, a/2, a/4, a/8 и так далее друг на друга?

Наталья

65

Для решения этой задачи, давайте посмотрим на каждый куб отдельно и выведем формулу, позволяющую найти высоту такой фигуры.

Пусть первый куб имеет сторону a. Высота этого куба равна a.

Второй куб имеет сторону a/2. Он помещается на вершину первого куба, поэтому его высота будет a/2.

Третий куб имеет сторону a/4. Он помещается на вершину второго куба, поэтому его высота будет a/4.

Рассмотрим общий случай, когда мы кладем k-ый куб на вершину (k-1)-го куба. Сторона k-го куба будет a/2^(k-1), так как каждый следующий куб имеет сторону в два раза меньше предыдущего.

Теперь, чтобы найти высоту всей фигуры, вам нужно просуммировать все высоты кубов от первого до k-го:

\[H = a + \frac{a}{2} + \frac{a}{4} + \frac{a}{8} + \ldots + \frac{a}{2^{k-1}}\]

Используя свойство геометрической прогрессии, мы можем упростить эту сумму:

\[H = a \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots + \frac{1}{2^{k-1}}\right)\]

Теперь нам нужно найти сумму бесконечного ряда:

\[S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots\]

Мы знаем, что это геометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем 1/2 - это бесконечно убывающий ряд, сходящийся к 2:

\[S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2\]

Теперь, подставляя этот результат в нашу формулу, мы получим окончательный ответ:

\[H = a \cdot 2\]

Таким образом, высота фигуры, полученной при размещении кубов такого типа друг на друга, всегда будет равна удвоенной стороне первого куба.