1. Как выразить вектор AB через орты и как найти его длину, если даны точки A(-3; 1; -1) и B(2; -4; 1)? 2. Если даны

Babochka_7621

56

1. Для выражения вектора AB через орты, нужно вычислить разность координат векторов A и B. Обозначим эту разность вектором \(\overrightarrow{AB}\). Поэтому

\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}\]

где \(\overrightarrow{B}\) и \(\overrightarrow{A}\) - векторы, заданные координатами точек B и A соответственно.

\[\overrightarrow{B} = (2; -4; 1)\]
\[\overrightarrow{A} = (-3; 1; -1)\]

Тогда мы можем вычислить \(\overrightarrow{AB}\):

\[\overrightarrow{AB} = (2; -4; 1) - (-3; 1; -1)\]
\[\overrightarrow{AB} = (2 + 3; -4 - 1; 1 + 1)\]
\[\overrightarrow{AB} = (5; -5; 2)\]

Теперь, чтобы найти длину вектора AB, мы можем использовать формулу для вычисления длины вектора:

\[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

где \(x_1, y_1, z_1\) - координаты точки A, а \(x_2, y_2, z_2\) - координаты точки B.

В нашем случае, мы имеем:

\(x_1 = -3\), \(y_1 = 1\), \(z_1 = -1\)

\(x_2 = 2\), \(y_2 = -4\), \(z_2 = 1\)

Тогда,

\[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (-4 - 1)^2 + (1 - (-1))^2}\]
\[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(5)^2 + (-5)^2 + (2)^2}\]
\[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{25 + 25 + 4}\]
\[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{54}\]
\[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{9 \cdot 6}\]
\[|\overrightarrow{AB}| = 3\sqrt{6}\]

Таким образом, выражение вектора AB через орты будет \(\overrightarrow{AB} = (5; -5; 2)\), а его длина равна \(3\sqrt{6}\).

2. Для вычисления координат вектора C = A - B, нужно вычесть соответствующие компоненты векторов A и B.

Из задания, разложение вектора A по ортам: \(\overrightarrow{A} = \overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}\).

Также, разложение вектора B по ортам: \(\overrightarrow{B} = -2\overrightarrow{i} + r\overrightarrow{j}\), где \(r\) - некоторое число.

Тогда,

\[\overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}\]
\[\overrightarrow{C} = (\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}) - (-2\overrightarrow{i} + r\overrightarrow{j})\]
\[\overrightarrow{C} = \overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k} + 2\overrightarrow{i} - r\overrightarrow{j}\]
\[\overrightarrow{C} = (1 + 2)\overrightarrow{i} + (-3 - r)\overrightarrow{j} + 1\overrightarrow{k}\]
\[\overrightarrow{C} = 3\overrightarrow{i} - (3 + r)\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}\]

Таким образом, координаты вектора C = A - B будут \((3; -(3 + r); 1)\).

3. Чтобы найти расстояние от начала координат до середины отрезка [AB], мы можем использовать формулу для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве.

Формула для вычисления расстояния между двуми точками A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2) выглядит следующим образом:

\[d = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2}\]

В нашем случае, координаты точки A: A(1, 2, -1) и точки B: B(-2, 1, 3).

Тогда,

\[d = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (1 - 2)^2 + (3 - (-1))^2}\]
\[d = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2 + (4)^2}\]
\[d = \sqrt{9 + 1 + 16}\]
\[d = \sqrt{26}\]

Таким образом, расстояние от начала координат до середины отрезка [AB] равно \(\sqrt{26}\).